# 8.11: The Radon–Nikodym Theorem. Lebesgue Decomposition

I. As you know, the indefinite integral

[int f dm]

is a generalized measure. We now seek conditions under which a given generalized measure (mu) can be represented as

[mu=int f dm]

for some (f) (to be found). We start with two lemmas.

Lemma (PageIndex{1})

Let (m, mu : mathcal{M} ightarrow[0, infty)) be finite measures in (S.) Suppose (S in mathcal{M}, mu S>0) (i.e., (mu ot equiv 0)) and (mu) is (m)-continuous (Chapter 7, §11).

Then there is (delta>0) and (a) set (P in mathcal{M}) such that (m P>0) and

[(forall X in mathcal{M}) quad mu X geq delta cdot m(X cap P).]

Proof

As (m0,) there is (delta>0) such that

[mu S-delta cdot m S>0.]

Fix such a (delta) and define a signed measure (Lemma 2 of Chapter 7, §11)

[Phi=mu-delta m,]

so that

[(forall Y in mathcal{M}) quad Phi Y=mu Y-delta cdot m Y;]

hence

[Phi S=mu S-delta cdot m S>0.]

By Theorem 3 in Chapter 7, §11 (Hahn decomposition), there is a (Phi)-positive set (P in mathcal{M}) with a (Phi)-negative complement (-P=S-P in mathcal{M}.)

Clearly, (m P>0;) for if (m P=0,) the (m)-continuity of (mu) would imply (mu P=0), hence

[Phi P=mu P-delta cdot m P=0,]

contrary to (Phi P geq Phi S>0).

Also, (P supseteq Y) and (Y in mathcal{M}) implies (Phi Y geq 0;) so by (1),

[0 leq mu Y-delta cdot m Y.]

Taking (Y=X cap P,) we get

[delta cdot m(X cap P) leq mu(X cap P) leq mu X,]

Lemma (PageIndex{2})

With (m, mu,) and (S) as in Lemma 1, let (mathcal{H}) be the set of all maps (g : S ightarrow E^{*}, mathcal{M})-measurable and nonnegative on (S,) such that

[int_{X} g dm leq mu X]

for every set (X) from (mathcal{M}).

Then there is (f in mathcal{H}) with

[int_{S} f dm=max _{g in mathcal{H}} int_{S} g dm.]

Proof

(mathcal{H}) is not empty; e.g., (g=0) is in (mathcal{H}.) We now show that

[(forall g, h in mathcal{H}) quad g vee h=max (g, h) in mathcal{H}.]

Indeed, (g vee h) is (geq 0) and (mathcal{M})-measurable on (S,) as (g) and (h) are.

Now, given (X in mathcal{M},) let (Y=X(g>h)) and (Z=X(g leq h).) Dropping "(dm)" for brevity, we have

[int_{X}(g vee h)=int_{Y}(g vee h)+int_{Z}(g vee h)=int_{Y} g+int_{Z} h leq mu Y+mu Z=mu X,]

proving (2).

Let

[k=sup _{g in mathcal{H}} int_{S} g d m in E^{*}.]

Proceeding as in Problem 13 of Chapter 7, §6, and using (2), one easily finds a sequence (left{g_{n} ight} uparrow, g_{n} in mathcal{H},) such that

[lim _{n ightarrow infty} int_{S} g_{n} dm=k.]

(Verify!) Set

[f=lim _{n ightarrow infty} g_{n}.]

(It exists since (left{g_{n} ight} uparrow.)) By Theorem 4 in §6,

[k=lim _{n ightarrow infty} int_{S} g_{n}=int_{S} f.]

Also, (f) is (mathcal{M})-measurable and (geq 0) on (S,) as all (g_{n}) are; and if (X in mathcal{M},) then

[(forall n) quad int_{X} g_{n} leq mu X;]

hence

[int_{X} f=lim _{n ightarrow infty} int_{X} g_{n} leq mu X.]

Thus (f in mathcal{H}) and

[int_{S} f=k=sup _{g in H} int_{S} g,]

i.e.,

[int_{S} f=max _{g in mathcal{H}} int_{S} g leq mu S

This completes the proof.(quad square)

Note 1. As (mu

If ((S, mathcal{M}, m)) is a (sigma)-finite measure space, if (S in mathcal{M},) and if

[mu : mathcal{M} ightarrow E^{n}left(C^{n} ight)]

is a generalized (m)-continuous measure, then

[mu=int f dm ext { on } mathcal{M}]

for at least one map

[f : S ightarrow E^{n}left(C^{n} ight),]

(mathcal{M})-measurable on (S).

Moreover, if (h) is another such map, then (m S) ((f eq h)=0)

The last part of Theorem 1 means that (f) is "essentially unique." We call (f) the Radon-Nikodym ((RN)) derivative of (mu,) with respect to (m.)

Proof

Via components (Theorem 5 in Chapter 7, §11), all reduces to the case

[mu : mathcal{M} ightarrow E^{1}.]

Then Theorem 4 (Jordan decomposition) in Chapter 7, §11, yields

[mu=mu^{+}-mu^{-},]

where (mu^{+}) and (mu^{-}) are finite measures ((geq 0),) both (m)-continuous (Corollary 3 from Chapter 7, §11). Therefore, all reduces to the case (0 leq mu

Suppose first that (m,) too, is finite. Then if (mu=0,) just take (f=0).

If, however, (mu S>0,) take (f in mathcal{H}) as in Lemma 2 and Note 1; (f) is nonnegative, bounded, and (mathcal{M})-measurable on (S),

[int f leq mu

and

[int_{S} f dm=k=sup _{g in mathcal{H}} int_{S} g dm.]

We claim that (f) is the required map.

Indeed, let

[ u=mu-int f dm;]

so ( u) is a finite (m)-continuous measure ((geq 0)) on (mathcal{M}.) (Why?) We must show that ( u=0).

Seeking a contradiction, suppose ( u S>0.) Then by Lemma 1, there are (P in mathcal{M}) and (delta>0) such that (m P>0) and

[(forall X in mathcal{M}) quad u X geq delta cdot m(X cap P).]

Now let

[g=f+delta cdot C_{P};]

so (g) is (mathcal{M})-measurable and (geq 0.) Also,

[egin{aligned}(forall X in mathcal{M}) quad int_{X} g=int_{X} f+delta int_{X} C_{P} &=int_{X} f+delta cdot m(X cap P) & leq int_{X} f+ u(X cap P) & leq int_{X} f+ u X=mu X end{aligned}]

by our choice of (delta) and ( u.) Thus (g in mathcal{H}.) On the other hand,

[int_{S} g=int_{S} f+delta int_{S} C_{P}=k+delta m P>k,]

contrary to

[k=sup _{g in mathcal{H}} int_{S} g.]

This proves that (int f=mu,) indeed.

Now suppose there is another map (h in mathcal{H}) with

[mu=int h d m=int f d m eq infty;]

so

[int(f-h) dm=0.]

(Why?) Let

[Y=S(f geq h) ext { and } Z=S(f

so (Y, Z in mathcal{M}) (Theorem 3 of §2) and (f-h) is sign-constant on (Y) and (Z.) Also, by construction,

[int_{Y}(f-h) dm=0=int_{Z}(f-h) dm.]

Thus by Theorem 1(h) in §5, (f-h=0) a.e. on (Y,) on (Z,) and hence on (S=Y cup Z) that is,

[mS(f eq h)=0.]

Thus all is proved for the case (mS

Next, let (m) be (sigma)-finite:

[S=igcup_{k=1}^{infty} S_{k} ext { (disjoint)}]

for some sets (S_{k} in mathcal{M}) with (m S_{k}

By what was shown above, on each (S_{k}) there is an (mathcal{M})-measurable map (f_{k} geq 0) such that

[int_{X} f_{k} dm=mu X]

for all (mathcal{M})-sets (X subseteq S_{k}.) Fixing such an (f_{k}) for each (k,) define (f : S ightarrow E^{1}) by

[f=f_{k} quad ext { on } S_{k}, quad k=1,2, ldots.]

Then (Corollary 3 in §1) (f) is (mathcal{M})-measurable and (geq 0) on (S).

Taking any (X in mathcal{M},) set (X_{k}=X cap S_{k}.) Then

[X=igcup_{k=1}^{infty} X_{k} ext { (disjoint)}]

and (X_{k} in mathcal{M}.) Also,

[(forall k) quad int_{X_{k}} f d m=int_{X_{k}} f_{k} d m=mu X_{k}.]

Thus by (sigma)-additivity (Theorem 2 in §5),

[int_{X} f d m=sum_{k=1}^{infty} int_{X_{k}} f d m=sum_{k} mu X_{k}=mu X

Thus (f) is as required, and its "uniqueness" follows as before.(quad square)

Note 2. By Definition 3 in §10, we may write

["d mu=f dm"]

for

["int f dm=mu."]

Note 3. Using Definition 2 in §10 and an easy "componentwise" proof, one shows that Theorem 1 holds also with (m) replaced by a generalized measure (s). The formulas

[mu=int f dm ext { and } mS(f eq h)=0]

then are replaced by

[mu=int f ds ext { and } v_{s}S(f eq h)=0.]

II. Theorem 1 requires (mu) to be (m)-continuous ((mu ll m).) We want to generalize Theorem 1 so as to lift this restriction. First, we introduce a new concept.

Definition

Given two set functions (s, t : mathcal{M} ightarrow Eleft(mathcal{M} subseteq 2^{S} ight),) we say that (s) is (t)-singular ((s perp t)) iff there is a set (P in mathcal{M}) such that (v_{t} P=0) and

[(forall X in mathcal{M} | X subseteq-P) quad s X=0.]

(We then briefly say "s resides in (P.)")

For generalized measures, this means that

[(forall X in mathcal{M}) quad s X=s(X cap P).]

Why?

Corollary (PageIndex{1})

If the generalized measures (s, u : mathcal{M} ightarrow E) are (t)-singular, so is (k s) for any scalar (k) (if (s) is scalar valued, (k) may be a vector).

So also are (s pm u,) provided (t) is additive.

Proof

(Exercise! See Problem 3 below.)

Corollary (PageIndex{2})

If a generalized measure (s : mathcal{M} ightarrow E) is (t)-continuous ((s ll t)) and also (t)-singular ((s perp t),) then (s=0) on (mathcal{M}.)

Proof

As (s perp t,) formula (3) holds for some (P in mathcal{M}, v_{t} P=0.) Hence for all (X in mathcal{M},)

[s(X-P)=0 ext { (for } X-P subseteq-P ext{)}]

and

[v_{t}(X cap P)=0 ext { (for } X cap P subseteq P ext{).}]

As (s ll t,) we also have (s(X cap P)=0) by Definition 3(i) in Chapter 7, §11. Thus by additivity,

[sX=s(X cap P)+s(X-P)=0,]

Theorem (PageIndex{2}) (Lebesgue decomposition)

Let (s, t : mathcal{M} ightarrow E) be generalized measures.

If (v_{s}) is (t)-finite (Definition 3(iii) in Chapter 7, §11), there are generalized measures (s^{prime}, s^{prime prime} : mathcal{M} ightarrow E) such that

[s^{prime} ll t ext { and } s^{prime prime} perp t]

and

[s=s^{prime}+s^{prime prime}.]

Proof

Let (v_{0}) be the restriction of (v_{s}) to

[mathcal{M}_{o}=left{X in mathcal{M} | v_{t} X=0 ight}.]

As (v_{s}) is a measure (Theorem 1 of Chapter 7, §11), so is (v_{0}) (for (mathcal{M}_{0}) is a (sigma)-ring; verify!).

Thus by Problem 13 in Chapter 7, §6, we fix (P in mathcal{M}_{0},) with

[v_{s} P=v_{0} P=max left{v_{s} X | X in mathcal{M}_{0} ight}.]

As (P in mathcal{M}_{0},) we have (v_{t} P=0;) hence

[|sP| leq v_{s} P

(for (v_{s}) is (t)-finite).

Now define (s^{prime}, s^{prime prime}, v^{prime},) and (v^{prime prime}) by setting, for each (X in mathcal{M}),

[egin{aligned} s^{prime} X &=s(X-P); s^{prime prime} X &=s(X cap P); v^{prime} X &=v_{s}(X-P); v^{prime prime} X &=v_{s}(X cap P). end{aligned}]

As (s) and (v_{s}) are (sigma)-additive, so are (s^{prime}, s^{prime prime}, v^{prime},) and (v^{prime prime}). (Verify!) Thus (s^{prime}, s^{prime prime} : mathcal{M} ightarrow E) are generalized measures, while (v^{prime}) and (v^{prime prime}) are measures ((geq 0)).

We have

[(forall X in mathcal{M}) quad s X=s(X-P)+s(X cap P)=s^{prime} X+s^{prime prime} X;]

i.e.,

[s=s^{prime}+s^{prime prime}.]

Similarly one obtains (v_{s}=v^{prime}+v^{prime prime}).

Also, by (5), since (X cap P=emptyset),

[-P supseteq X ext { and } X in mathcal{M} Longrightarrow s^{prime prime} X=0,]

while (v_{t} P=0) (see above). Thus (s^{prime prime}) is (t)-singular, residing in (P).

To prove (s^{prime} ll t,) it suffices to show that (v^{prime} ll t) (for by (4) and (6), (v^{prime} X=0) implies (left|s^{prime} X ight|=0)).

Assume the opposite. Then

[(exists Y in mathcal{M}) quad v_{t} Y=0]

(i.e., (Y in mathcal{M}_{0})), but

[0

[v_{s}(Y cup P)=v_{s} P+v_{s}(Y-P)>v_{s} P,]

with (Y cup P in mathcal{M}_{0},) contrary to

[v_{s} P=max left{v_{s} X | X in mathcal{M}_{0} ight}.]

Note 4. The set function (s^{prime prime}) in Theorem 2 is bounded on (mathcal{M}.) Indeed, (s^{prime prime} perp t) yields a set (P in mathcal{M}) such that

[(forall X in mathcal{M}) quad s^{prime prime}(X-P)=0;]

and (v_{t} P=0) implies (v_{s} P

[s^{prime prime} X=s^{prime prime}(X cap P)+s^{prime prime}(X-P)=s^{prime prime}(X cap P).]

As (s=s^{prime}+s^{prime prime},) we have

[left|s^{prime prime} ight| leq|s|+left|s^{prime} ight| leq v_{s}+v_{s^{prime}};]

so

[left|s^{prime prime} X ight|=left|s^{prime prime}(X cap P) ight| leq v_{s} P+v_{s^{prime}} P.]

But (v_{s^{prime}} P=0) by (t)-continuity (Theorem 2 of Chapter 7, §11). Thus (left|s^{prime prime} ight| leq v_{s} P

Note 5. The Lebesgue decomposition (s=s^{prime}+s^{prime prime}) in Theorem 2 is unique. For if also

[u^{prime} ll t ext { and } u^{prime prime} perp t]

and

[u^{prime}+u^{prime prime}=s=s^{prime}+s^{prime prime},]

then with (P) as in Problem 3, ((forall X in mathcal{M}))

[s^{prime}(X cap P)+s^{prime prime}(X cap P)=u^{prime}(X cap P)+u^{prime prime}(X cap P)]

and (v_{t}(X cap P)=0.) But

[s^{prime}(X cap P)=0=u^{prime}(X cap P)]

by (t)-continuity; so (8) reduces to

[s^{prime prime}(X cap P)=u^{prime prime}(X cap P),]

or (s^{prime prime} X=u^{prime prime} X) (for (s^{prime prime}) and (u^{prime prime}) reside in (P)). Thus (s^{prime prime}=u^{prime prime}) on (mathcal{M}).

By Note 4, we may cancel (s^{prime prime}) and (u^{prime prime}) in

[s^{prime}+s^{prime prime}=u^{prime}+u^{prime prime}]

to obtain (s^{prime}=u^{prime}) also.

Note 6. If (E=E^{n}left(C^{n} ight),) the (t)-finiteness of (v_{s}) in Theorem 2 is redundant, for (v_{s}) is even bounded (Theorem 6 in Chapter 7, §11).

We now obtain the desired generalization of Theorem 1.

Corollary (PageIndex{3})

If ((S, mathcal{M}, m)) is a (sigma)-finite measure space ((S in mathcal{M}),) then for any generalized measure

[mu : mathcal{M} ightarrow E^{n}left(C^{n} ight),]

there is a unique (m)-singular generalized measure

[s^{prime prime} : mathcal{M} ightarrow E^{n}left(C^{n} ight)]

and a ("essentially" unique) map

[f : S ightarrow E^{n}left(C^{n} ight),]

(mathcal{M})-measurable and (m)-integrable on (S,) with

[mu=int f dm+s^{prime prime}.]

(Note 3 applies here.)

Proof

By Theorem 2 and Note 5, (mu=s^{prime}+s^{prime prime}) for some (unique) generalized measures (s^{prime}, s^{prime prime} : mathcal{M} ightarrow E^{n}left(C^{n} ight),) with (s^{prime} ll m) and (s^{prime prime} perp m.)

Now use Theorem 1 to represent (s^{prime}) as (int f dm,) with (f) as stated. This yields the result.(quad square)

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Bartle Lebesgue Integration Solutions . To get started finding Bartle Lebesgue Integration Solutions , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Bartle Lebesgue Integration Solutions I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.

## Projective limits of probability spaces ☆

The classical Kolmogorov theorem on the existence of stochastic process has been generalized in several directions following its abstract formulation by Bochner. In the first half of the paper a unified exposition of the key results of the existing work is given. The second half consists of some characterizations of the projective systems admitting projective limits and some applications. The latter include a generalization of a theorem of Tulcea on product measures involving conditional probabilities, which now need not be regular, and a characterization of the regular martingale of Chow and Snell, as a particular projective system admitting the projective limit. Comparisons with other work and some pertinent remarks are included at several places.

Azzam, J., David, G., Toro, T.: Wasserstein distance and rectifiability of doubling measures: part I. Math. Ann. 364(1–2), 151–224 (2016)

David, G.: Singular Sets of Minimizers for the Mumford-Shah Functional. Progress in Mathematics. Birkhäuser Verlag, Basel (2005)

David, G., Kenig, C., Toro, T.: Asympotically optimally doubling measures and reifenberg flat sets with vanishing constant. Commun. Pure Appl. Math. 54, 385–449 (2001)

Federer, H.: Geometric Measure Theory, Grundlehren der Mathematishen Wissenschaften 153. Springer, Berlin (1969)

Mattila, P.: Geometry of Sets and measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 44. Cambridge University Press, Cambridge (1995)

Preiss, D.: Geometry of measures in (^n) : distribution, rectifiability, and densities. Ann. Math. (2) 125(3), 537–643 (1987)

Tolsa, X.: Uniform rectifiability, Calderón–Zygmund operators with odd kernel, and quasiorthogonality. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 98(2), 393–426 (2009)

Tolsa, X.: Mass transport and uniform rectifiability. Geom. Funct. Anal. 22(2), 478–527 (2012)

Tolsa, X.: Rectifiable measures, square functions involving densities, and Cauchy transform (2014). Preprint arXiv:1408.6979

Villani, C.: Optimal Transport: Old and New. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 338. Springer, Berlin (2009)

## Access options

### Buy single article

Tax calculation will be finalised during checkout.

### Subscribe to journal

Immediate online access to all issues from 2019. Subscription will auto renew annually.

Tax calculation will be finalised during checkout.

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Measure And Integral Zygmund Solutions . To get started finding Measure And Integral Zygmund Solutions , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Measure And Integral Zygmund Solutions I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.

## Probability theory i, m loeve 1

SPACES, AND MEASURES SETs, CLAssEs, AND FuNcTIONS • 1.1 1.2 1.3 1.4 Definitions and notations Differences, unions, and intersections Sequences and limits Indicators of sets xi 55 55 56 57 59 CONTENTS OF VOLUME I Xll PAGE SECTION Fields and u-fields Monotone classes Product sets Functions and inverse functions Measurable spaces and functions 59 60 61 62 64 *2 ToPOLOGICAL SPACES *2.1 Topologies and limits *2.2 Limit points and compact spaces *2.3 Countability and metric spaces *2.4 Linearity and normed spaces 65 1.5 1.6 *1.7 *1.8 *1.9 ADDITIVE SET FuNcTIONS 3.1 Additivity and continuity 3.2 Decomposition of additive set functions *4 CoNSTRUCTION OF MEASURES ON u-FIELDS *4.1 Extension of measures *4.2 Product probabilities *4.3 Consistent probabilities on Borel fields *4.4 Lebesgue-Stieltjes measures and distribution functions CoMPLEMENTS AND DETAILS 66 69 72 78 83 83 87 88 88 91 93 96 100 CHAPTER II: MEASURABLE FUNCTIONS AND INTEGRATION MEASURABLE FuNCTIONS 5.1 Numbers 5.2 Numerical functions 5.3 Measurable functions 103 103 105 107 MEASURE AND CONVERGENCES 6.1 Definitions and general properties 6.2 Convergence almost everywhere 6.3 Convergence in measure 111 Ill 114 116 INTEGRATION 7.1 Integrals 7.2 Convergence theorems 118 119 125 INDEFINITE INTEGRALS ITERATED INTEGRALS 8.1 Indefinite integrals and Lebesgue decomposition 8.2 Product measures and iterated integrals *8.3 Iterated integrals and infinite product spaces 130 130 135 137 CoMPLEMENTS AND DETAILS 139 INDEX Abel theorem, 400 Addition property, 10 Additive set function, 83 continuity, 85 continuity theorem, 85 countably, 83 decomposition, 87 decomposition theorem, 88 extension, 88 extension theorem, 88 finite, 83, 111 finitely, 83 restriction, 88 u-additive, 83, 111 u-fini te, 83, 111 Adherence, 66 Adherent point, 66 Alexandrov, 190, 409 Allard, 44 Almost everywhere, 112 convergence, 114 mutual convergence, 114 Almost sure(ly), 148 convergence, 152, 248, 260 mutual convergence, 153 stability, 244, 249, 274, 260 stability criterion, 264 Almost uniform convergence, 140 Andersen and Jessen, 92, 408 Asymptotic (Cont.) passage theorem, 36 uniform negligibility, 302 Atom, 100 Attraction domain of, 360 partial, 403 stability and-criteria, 364 standard, 402 Axioms of the countable case, 16 of the finite case, Baire category theorem, 75 functions, 109 Banach, 407 space, 81 Base countable, 72 of a cylinder, 62 Baxter, 369, 390, 411 Bawly, 302, 410 Bernoulli, 407 case, 12, 244, 280 extended, 26 law of large numbers, 14, 244, 282 Berry, 294, 410 Billingsley, 196, 409 Bienayme, 408 equality, 12, 246 Blackwell, 369, 411 Bochner, 408, 409 theorem, 220 Boltzmann, 42, 43 Bolzano-Weierstrass property, 70 Ande

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo . To get started finding Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Measure Theory Integration Exercises With Solution . To get started finding Measure Theory Integration Exercises With Solution , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Measure Theory Integration Exercises With Solution I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.

## Πραγματική Ανάλυση (μεταπτ.)

Το μεταπτυχιακό μάθημα «Πραγματική Ανάλυση» είναι μια εισαγωγή στη θεωρία ολοκλήρωσης καθώς και σε συναφείς έννοιες και αποτελέσματα της Πραγματικής και Συναρτησιακής ανάλυσης και της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σκοπός του μαθήματος είναι να διδάξει στο φοιτητή τις βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στο χτίσιμο της θεωρίας του ολοκληρώματος αλλά και χρήση του ολοκληρώματος αυτού (ολοκλήρωμα Lebesgue) στη Μαθηματική πράξη.

Θα ακολουθήσουμε το βιβλίο του Walter Rudin, «Real and Complex Analysis, 3rd Edition».

Σε κάποιες περιπτώσεις όμως μπορεί να στηριχθούμε σε άλλα βιβλία ή σημειώσεις.

Ο βαθμός του φοιτητή θα προκύψει κατά 20% από τα σετ ασκήσεων που θα λύνει κάθε εβδομάδα, κατά 30% από το ενδιάμεσο διαγώνισμα (περί την 7η εβδομάδα του εξαμήνου) και κατά 50% από το τελικό διαγώνισμα.

Κάθε εβδομάδα, συνήθως Πέμπτη, θα σας δίνω από ένα φυλλάδιο ασκήσεων, τις λύσεις των οποίων θα πρέπει να μου επιστρέψετε μια βδομάδα μετά, στο μάθημα.

Θα πρέπει οι λύσεις που θα παραδίδετε να είναι σωστές, σύντομες (χωρίς να μακρυγορείτε αλλά και χωρίς να αφήνετε απ' έξω κάτι σημαντικό) και να είναι δικές σας . Το να παραδώσετε ασκήσεις που έχετε γράψει από άλλους δεν επιτρέπεται. Μπορείτε φυσικά να συζητάτε τα προβλήματα με άλλους αλλά η λύση που θα μου δίνετε θα πρέπει να είναι γραμμένη από σας και να έχει κατανοηθεί πλήρως από εσάς. Το να μου δίνετε ασκήσεις που δεν έχετε λύσει δε βοηθάει ούτε και μένα (γιατί δε θα καταλαβαίνω αν έχετε πρόβλημα να κατανοήσετε κάτι) αλλά ούτε και σας.

Περιοδικά θα ζητώ από κάποιους από σας να μας παρουσιάσουν τη λύση κάποιας άσκησης στο μάθημα.

Είδαμε τι είναι μια σ-άλγεβρα πάνω σε ένα σύνολο . Σε ένα τέτοιο μετρήσιμο χώρο ορίζεται έπειτα η έννοια της μετρήσιμης συνάρτησης , όπου είναι ένας μετρικός (ή, γενικότερα, τοπολογικός) χώρος. Κάναμε μια πολύ σύντομη ανασκόπηση του τι είναι μετρική και μετρικός χώρος και ορίσαμε επίσης την έννοια του τοπολογικού χώρου (αν και κυρίως θα χρησιμοποιούμε μετρικούς χώρους). Δείξαμε τέλος ότι η σύνθεση μιας συνεχούς συνάρτησης με μια μετρήσιμη συνάρτηση διατηρεί τη μετρησιμότητα (Θεώρημα 1.7 του βιβλίου σας). Διαβάστε μόνοι σας και το Θεώρημα 1.8 που είναι πολύ παρόμοιο.

Όσοι από εσάς έχετε ξεχάσει τα περί μετρικών χώρων ή δεν τα μάθατε ποτέ, θα πρέπει να θυμηθείτε διάφορα βασικά. Αρχίστε διαβάζοντας τις πρώτες 17 σελίδες από τις πολύ καλές σημειώσεις του συναδέλφου κ. Μήτση.

Την Πέμπτη θα πάρετε το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων, με παράδοση μια βδομάδα μετά.

Διατήρηση της μετρησιμότητας από αλγεβρικές πράξεις μεταξύ συναρτήσεων, όπως και από μέγιστα, ελάχιστα, sup και inf, καθώς και limsup, liminf και lim μετρησίμων συναρτήσεων.

σ-άλγεβρα που παράγεται από μια οικογένεια συνόλων. Σύνολα Borel σ' ένα τοπολογικό χώρο. Σύνολα και παραδείγματα.

Οι επεκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί και αλγεβρικές πράξεις με τα άπειρα.

Απλές συνάρτήσεις (μη αρνητικές προς το παρόν) και θεώρημα μονότονης προσέγγισης κάθε μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης από κάτω από ακολουθία απλών συναρτήσεων.

Μη αρνητικά μέτρα και μιγαδικά μέτρα.

Σήμερα είδαμε μερικά παραδείγματα χώρων μέτρου (κυρίως το counting measure, τη μάζα Dirac) και έπειτα ορίσαμε το ολοκλήρωμα απλής μη αρνητική συνάρτηση και από αυτό τον ορισμό και το θέωρημα που δείξαμε την προηγούμενη φορά που μας επιτρέπει να προσεγγίσουμε κάθε μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση από μια αύξουσα ακολουθία απλών ορίσαμε και το ολοκλήρωμα οποασδήποτε μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης. Είδαμε διάφορες ιδιότητες του ολοκληρώματος και καταλήξαμε να αποδείξουμε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης καθώς και το πόρισμά του για την ολοκλήρωση κατά όρους σειράς μη αρνητικών συναρτήσεων. Είδαμε επίσης με ποια μεθοδολογία μπορεί κανείς να μεταγράψει κάποια θεωρήματα που αφορούν ολοκληρώματα σε αντίστοιχα θεωρήματα που αφορούν σειρές, χρησιμοποιώντας το counting measure.

Αποδείξαμε το Λήμμα του Fatou και το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης (Dominated Convergence Theorem). Ορίσαμε το ολοκλήρωμα μιγαδικών (και πραγματικών) συναρτήσεων και πλέον δε μιλάμε μόνο για ολοκληρώματα μη αρνητικών συναρτήσεων. Είδαμε τις βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος (γραμμικότητα, τριγωνική ανισότητα). Μιλήσαμε για το τι σημαίνει για μια ιδιότητα να ισχύει «σχεδόν παντού» και το πώς μπορεί κανείς σε διάφορα θεωρήματα, όπως το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης, να απαιτεί τις υποθέσεις του να ισχύουν μόνο σχεδόν παντού (και όχι κατ' ανάγκην παντού). Είδαμε ότι μια σειρά συγκλίνει σχεδόν παντού όταν η σειρά των ολοκληρωμάτων των απολύτων όρων συγκλίνει και στην περίπτωση αυτή μπορούμε να αλλάξουμε το ολοκλήρωμα με το άθροισμα.

Έχουμε ουσιαστικά τελειώσει με το Κεφάλαιο 1 του βιβλίου.

1. Παρακαλώ πολύ γράφετε πιο καθαρά. Σε ορισμένες περιπτώσεις μου είναι δύσκολο να καταλάβω τι γράφετε. Δεν είστε γιατροί και δεν είμαι φαρμακοποιός.
2. Κοιτάτε τις λύσεις που ανεβάζω και συγκρίνετε με τις δικές σας. (Καλό είναι να κρατάτε ένα αντίγραφο των ασκήσεων που μου δίνετε μήπως και είτε αργήσω να τα διορθώσω ή χαθεί κάτι. Όσοι έχετε smartphone ένα πολύ καλό πρόγραμμα για «σκανάρισμα» εγγράφων είναι το camscanner.)
3. Κάποιοι μου γράφουν μερικές φοβερά πολύπλοκες λύσεις που σχεδόν σίγουρα τις έχουν διαβάσει από κάπου. Το πρόβλημα είναι ότι δεν τις καταλαβαίνουν. Αν δε καταλαβαίνετε κάτι μην το γράφετε. Ο βαθμός που θα πάρετε στα φυλλάδια των ασκήσεων δεν είναι τόσο μεγάλος. Είναι πολύ προτιμότερο αν δε καταλαβαίνετε μια άσκηση να μην τη γράφετε, ώστε κι εγώ να βλέπω πού έχετε δυσκολίες.
4. Προσπαθείτε να μη γράφετε πάρα πολλά. (Ορισμένα γραπτά είναι κανονική οικολογική καταστροφή.) Είναι κι αυτό μια τέχνη που πρέπει να μάθετε, το να μην υπερεξηγείτε αυτά που θα όφειλαν να είναι προφανή. Αλλιώς ο αναγνώστης δεν καταλαβαίνει ποιο κομμάτι της λύσης σας είναι το σημαντικό.
5. Δεν εναλλάσουμε όρια χωρίς αιτιολόγηση (το είδα σε μερικά γραπτά). Τα δύο όρια και της διπλής ακολουθίας δεν είναι κατ' ανάγκη ίσα. Πάρτε π.χ. την .
6. Σε πολλά γραπτά είδα τη συνεπαγωγή «η είναι σ.π. πεπερασμένη, άρα υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε σ.π.» Αυτό είναι λάθος (σοβαρό). Σχεδόν παντού πεπερασμένη δε συνεπάγεται ότι είναι φραγμένη η . Πάρτε π.χ. την για . Είναι παντού πεπερασμένη αλλά σίγουρα όχι φραγμένη.
7. Όπυ βάζω στα γραπτά το σημάδι +++ σημαίνει ότι θα ήθελα να επεξηγήσετε περισσότερο το σημείο αυτό.

Είδαμε κατ' αρχήν την έννοια του θετικού γραμμικού συναρτησοειδούς, παρατηρήσαμε ότι στο γραμμικό χώρο το ολοκλήρωμα Riemann μιας συνάρτησης

υπάρχει (το ξανααποδείξαμε) και είναι θετικό γραμμικό συναρτησοειδές και έπειτα αναφέραμε (χωρίς απόδειξη) το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz (Θ. 2.14 στο βιβλίο του Rudin). Δείξαμε πώς από το θεώρημα αυτό συνάγεται η ύπαρξη του μέτρου Lebesgue, ενός μέτρου που ορίζεται σε μια σ-άλγεβρα μεγαλύτερη από τη Borel σ-άλγεβρα, και που γενικεύει το ολοκλήρωμα Riemann (που το έχουμε μόνο για συνεχείς ή, έστω, τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις) σε όλες τις Borel μετρήσιμες συναρτήσεις στο ή στο . Δείξαμε μερικές βασικές ιδιότητες του μέτρου Lebesgue, πως π.χ. δίνει μέτρο 0 σε κάθε αριθμήσιμο σύνολο. Δεν είναι απαραίτητο όμως για ένα σύνολο να είναι αριθμήσιμο για να έχει μέτρο Lebesgue 0 και ξεκινήσαμε να βλέπουμε το παράδειγμα του τριαδικού συνόλου του Cantor ως ένα παράδειγμα συνόλου μέτρου 0 που έχει τον πληθάριμο του συνεχούς. Δεν είπαμε ακόμη το παράδειγμα συνόλου στο που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμο (Θ. 2.22).

Μια συνοπτική περιγραφή του μέτρου και ολοκληρώματος Lebesgue, με έμφαση στη χρήση του και σχεδόν καθόλου στην έννοια της μετρησιμότητας, μπορείτε να βρείτε στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου αυτού. Ίσως να σας φανεί χρήσιμη μαζί με τις ασκήσεις που περιέχονται εκεί.

Μιλήσαμε με λεπτομέρεια για το σύνολο του Cantor (ένα υπαριθμήσιμο σύνολο στο που έχει μέτρο Lebesgue μηδέν). Το σύνολο Cantor (του οποίου υπάρχουν πολλές παραλλαγές) έχει πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες και είναι πηγή παραδειγμάτων στην Ανάλυση. Ρίξτε μια ματιά εδώ.

Αποδείξαμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμα (ڈ.22 στο Rudin - δεν πήγαμε πέρα από κει στο Κεφ. 2).

Από το Κεφ. 3 αποδείξαμε την ανισότητα του Jensen για κυρτές συναρτήσεις (που είδαμε ότι αποτελεί κατά κάποιον τρόπο μια γενίκευση του ορισμού της κυρτότητας συνάρτησης) και αποδείξαμε επίσης και την ανισότητα του Hölder (Θ. 3.5 στο Rudin).

Δείξαμε σήμερα ξανά την ανισότητα Hölder (χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Young: για και ). Από την ανισότητα Hölder δείξαμε μετά την ανισότητα του Minkowski που είναι η τριγωνική ανισότητα για τις νόρμες . Είδαμε ότι αυτές οι ανισότητες μας δίνουν (χρησιμοποιώντας το counting measure) και τις αντίστοιχες ανισότητες για πεπερασμένα αθροίσματα και σειρές. Αποδείξαμε ότι οι χώροι είναι πλήρεις μετρικοί χώροι.

Δείξαμε ότι σε κάθε χώρο μέτρου οι απλές συναρτήσεις είναι πυκνές στους χώρους , . (Για το χώρο πρέπει κανείς να επιτρέψει και απλές συναρτήσεις στις οποίες τα σύνολα στα οποία είναι σταθερές μπορούν να έχουν και άπειρο μέτρο. Για τους ολοκληρωτικούς χώρους αυτό δε χρειάζεται.)

Δείξαμε έπειτα ότι ο χώρος (συνεχείς συναρτήσεις με συμπαγή φορέα) είναι επίσης πυκνές στους , , φτάνει ο χώρος να είναι ένας τοπικά συμπαγής μετρικός χώρος. Η πυκνότητα αυτή δεν ισχύει για το .

Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο δείξαμε ότι οι ολοκληρωτικοί χώροι είναι διαχωρίσιμοι, ότι δηλ. έχουν κάποιο αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο. Αυτό δεν ισχύει για τον και το αποδείξαμε.

Σήμερα κάναμε μια μικρή εισαγωγή στους χώρους Hilbert. Ξεκινήσαμε το Κεφ. 4 και καλύψαμε τις έννοιες μέχρι και το Θ. 4.11 (διάσπαση χώρου Hilbert στο άθροισμα ενός κλειστού υπόχωρου και του ορθογωνίου συμπληρώματός του (ορθογώνιες προβολές).

Σήμερα συνεχίσαμε να μιλάμε για χώρους Hilbert. Αποδείξαμε το θεώρημα αναπαράστασης 4.12 και μιλήσαμε μετά για ορθοκανονικά σύνολα. Υπολογίσαμε την ορθογώνια προβολή του πάνω σε ένα υπόχωρο που παράγεται από ένα πεπερασμένο ορθοκανονικό σύνολο , και είδαμε ότι οι συντελεστές της προβολής ως προς τα είναι οι αριθμοί . Από αυτό αποδείξαμε την ανισότητα του Bessel για κάθε ορθοκανονικό σύνολο. Καταλήξαμε με το Θ. 4.18 που συνοψίζει κάποιες βασικές έννοιες για ορθοκανονικά σύνολα και αναπτύγματα ως προς αυτά.

Το ενδιάμεσο διαγώνισμα θα γίνει την Πέμπτη 3-11-2016, την ώρα του μαθήματος. Να είστε στην αίθουσα ακριβώς στις 9:00 (η αίθουσα ενδέχεται να αλλάξει-θα ενημερωθείτε). Εκείνη την εβδομάδα δε θα έχετε να παραδώσετε ασκήσεις (αλλά θα παραλάβετε νέο φυλλάδιο την ημέρα του διαγωνίσματος).

Μπορείτε εδώ να δείτε ένα υπόδειγμα του διαγωνίσματος της 3-11-2016. Το διαγώνισμα θα έχει διάρκεια 2 ώρες. Θα εξεταστείτε σε 5 (μάλλον) θέματα τα οποία θα σας είναι άγνωστα χωρίς αυτό να σημαίνει ότι θα είναι και δύσκολα. Θα πάρετε και 2ο υπόδειγμα το επόμενο Σαββατοκύριακο. Δε θα έχετε να παραδώσετε φυλλάδιο ασκήσεων την εβδομάδα του ενδιάμεσου διαγωνίσματος.

Μιλήσαμε κατ' αρχήν για τους χώρους και (χώροι 1-περιοδικών συναρτήσεων) και για την ορθοκανονική βάση

χωρίς όμως να αποδείξουμε την πληρότητα των εκθετικών. Είδαμε ότι οι συντελεστές Fourier

ορίζονται ευρύτερα για όλες τις συναρτήσεις στο (με άλλα λόγια για όλες τις 1-περιοδικές συναρτήσεις στο που είναι ολοκληρώσιμες στο . Μιλήσαμε επίσης για τον μετασχηματισμό Fourier

που ορίζεται για κάθε και αποδείξαμε το Λήμμα Riemann-Lebesgue (δηλ. ) και το ότι ο μετασχηματισμός Fourier είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο .

Μιλήσαμε επίσης για τον πυρήνα του Dirichlet και για τον πυρήνα του Fejer.

Αυτά που είπαμε (και που θα πούμε και την Πέμπτη) μπορείτε να τα βρείτε στα Κεφ. 2 και 3 του βιβλίου αυτού.

Συνεχίσαμε σήμερα τη συζήτηση για ανάλυση Fourier περιοδιών συναρτήσεων. Αποδείξαμε το Θεώρημα του Fejer που λέει ότι οι Cesaro μέσοι όροι των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier μια συνεχούς περιοδικής συνάρτησης συγκλίνουν ομοιόμορφα στη συνάρτηση. Αυτό έχει ως συνέπεια την πληρότητα των εκθετικών (πυκνότητα των τριγωνομετρικών πολυωνύμων) στο χώρο .

Στο μάθημα της Τρίτης θα ασχοληθούμε με λύση ασκήσεων και δε θα καλύψουμε νέα «ύλη».

Σήμερα ασχοληθήκαμε με διάφορες από τις ασκήσεις των υποδειγμάτων διαγωνίσματος.

Το διαγώνισμα θα γίνει στην Α208. Παρακαλώ να είστε εκεί στις 9:00 ακριβώς.