Articles

8.11: The Radon–Nikodym Theorem. Lebesgue Decomposition


I. As you know, the indefinite integral

[int f dm]

is a generalized measure. We now seek conditions under which a given generalized measure (mu) can be represented as

[mu=int f dm]

for some (f) (to be found). We start with two lemmas.

Lemma (PageIndex{1})

Let (m, mu : mathcal{M} ightarrow[0, infty)) be finite measures in (S.) Suppose (S in mathcal{M}, mu S>0) (i.e., (mu ot equiv 0)) and (mu) is (m)-continuous (Chapter 7, §11).

Then there is (delta>0) and (a) set (P in mathcal{M}) such that (m P>0) and

[(forall X in mathcal{M}) quad mu X geq delta cdot m(X cap P).]

Proof

As (m0,) there is (delta>0) such that

[mu S-delta cdot m S>0.]

Fix such a (delta) and define a signed measure (Lemma 2 of Chapter 7, §11)

[Phi=mu-delta m,]

so that

[(forall Y in mathcal{M}) quad Phi Y=mu Y-delta cdot m Y;]

hence

[Phi S=mu S-delta cdot m S>0.]

By Theorem 3 in Chapter 7, §11 (Hahn decomposition), there is a (Phi)-positive set (P in mathcal{M}) with a (Phi)-negative complement (-P=S-P in mathcal{M}.)

Clearly, (m P>0;) for if (m P=0,) the (m)-continuity of (mu) would imply (mu P=0), hence

[Phi P=mu P-delta cdot m P=0,]

contrary to (Phi P geq Phi S>0).

Also, (P supseteq Y) and (Y in mathcal{M}) implies (Phi Y geq 0;) so by (1),

[0 leq mu Y-delta cdot m Y.]

Taking (Y=X cap P,) we get

[delta cdot m(X cap P) leq mu(X cap P) leq mu X,]

as required.(quad square)

Lemma (PageIndex{2})

With (m, mu,) and (S) as in Lemma 1, let (mathcal{H}) be the set of all maps (g : S ightarrow E^{*}, mathcal{M})-measurable and nonnegative on (S,) such that

[int_{X} g dm leq mu X]

for every set (X) from (mathcal{M}).

Then there is (f in mathcal{H}) with

[int_{S} f dm=max _{g in mathcal{H}} int_{S} g dm.]

Proof

(mathcal{H}) is not empty; e.g., (g=0) is in (mathcal{H}.) We now show that

[(forall g, h in mathcal{H}) quad g vee h=max (g, h) in mathcal{H}.]

Indeed, (g vee h) is (geq 0) and (mathcal{M})-measurable on (S,) as (g) and (h) are.

Now, given (X in mathcal{M},) let (Y=X(g>h)) and (Z=X(g leq h).) Dropping "(dm)" for brevity, we have

[int_{X}(g vee h)=int_{Y}(g vee h)+int_{Z}(g vee h)=int_{Y} g+int_{Z} h leq mu Y+mu Z=mu X,]

proving (2).

Let

[k=sup _{g in mathcal{H}} int_{S} g d m in E^{*}.]

Proceeding as in Problem 13 of Chapter 7, §6, and using (2), one easily finds a sequence (left{g_{n} ight} uparrow, g_{n} in mathcal{H},) such that

[lim _{n ightarrow infty} int_{S} g_{n} dm=k.]

(Verify!) Set

[f=lim _{n ightarrow infty} g_{n}.]

(It exists since (left{g_{n} ight} uparrow.)) By Theorem 4 in §6,

[k=lim _{n ightarrow infty} int_{S} g_{n}=int_{S} f.]

Also, (f) is (mathcal{M})-measurable and (geq 0) on (S,) as all (g_{n}) are; and if (X in mathcal{M},) then

[(forall n) quad int_{X} g_{n} leq mu X;]

hence

[int_{X} f=lim _{n ightarrow infty} int_{X} g_{n} leq mu X.]

Thus (f in mathcal{H}) and

[int_{S} f=k=sup _{g in H} int_{S} g,]

i.e.,

[int_{S} f=max _{g in mathcal{H}} int_{S} g leq mu S

This completes the proof.(quad square)

Note 1. As (mu

Theorem (PageIndex{1}) (Radon-Nikodym)

If ((S, mathcal{M}, m)) is a (sigma)-finite measure space, if (S in mathcal{M},) and if

[mu : mathcal{M} ightarrow E^{n}left(C^{n} ight)]

is a generalized (m)-continuous measure, then

[mu=int f dm ext { on } mathcal{M}]

for at least one map

[f : S ightarrow E^{n}left(C^{n} ight),]

(mathcal{M})-measurable on (S).

Moreover, if (h) is another such map, then (m S) ((f eq h)=0)

The last part of Theorem 1 means that (f) is "essentially unique." We call (f) the Radon-Nikodym ((RN)) derivative of (mu,) with respect to (m.)

Proof

Via components (Theorem 5 in Chapter 7, §11), all reduces to the case

[mu : mathcal{M} ightarrow E^{1}.]

Then Theorem 4 (Jordan decomposition) in Chapter 7, §11, yields

[mu=mu^{+}-mu^{-},]

where (mu^{+}) and (mu^{-}) are finite measures ((geq 0),) both (m)-continuous (Corollary 3 from Chapter 7, §11). Therefore, all reduces to the case (0 leq mu

Suppose first that (m,) too, is finite. Then if (mu=0,) just take (f=0).

If, however, (mu S>0,) take (f in mathcal{H}) as in Lemma 2 and Note 1; (f) is nonnegative, bounded, and (mathcal{M})-measurable on (S),

[int f leq mu

and

[int_{S} f dm=k=sup _{g in mathcal{H}} int_{S} g dm.]

We claim that (f) is the required map.

Indeed, let

[ u=mu-int f dm;]

so ( u) is a finite (m)-continuous measure ((geq 0)) on (mathcal{M}.) (Why?) We must show that ( u=0).

Seeking a contradiction, suppose ( u S>0.) Then by Lemma 1, there are (P in mathcal{M}) and (delta>0) such that (m P>0) and

[(forall X in mathcal{M}) quad u X geq delta cdot m(X cap P).]

Now let

[g=f+delta cdot C_{P};]

so (g) is (mathcal{M})-measurable and (geq 0.) Also,

[egin{aligned}(forall X in mathcal{M}) quad int_{X} g=int_{X} f+delta int_{X} C_{P} &=int_{X} f+delta cdot m(X cap P) & leq int_{X} f+ u(X cap P) & leq int_{X} f+ u X=mu X end{aligned}]

by our choice of (delta) and ( u.) Thus (g in mathcal{H}.) On the other hand,

[int_{S} g=int_{S} f+delta int_{S} C_{P}=k+delta m P>k,]

contrary to

[k=sup _{g in mathcal{H}} int_{S} g.]

This proves that (int f=mu,) indeed.

Now suppose there is another map (h in mathcal{H}) with

[mu=int h d m=int f d m eq infty;]

so

[int(f-h) dm=0.]

(Why?) Let

[Y=S(f geq h) ext { and } Z=S(f

so (Y, Z in mathcal{M}) (Theorem 3 of §2) and (f-h) is sign-constant on (Y) and (Z.) Also, by construction,

[int_{Y}(f-h) dm=0=int_{Z}(f-h) dm.]

Thus by Theorem 1(h) in §5, (f-h=0) a.e. on (Y,) on (Z,) and hence on (S=Y cup Z) that is,

[mS(f eq h)=0.]

Thus all is proved for the case (mS

Next, let (m) be (sigma)-finite:

[S=igcup_{k=1}^{infty} S_{k} ext { (disjoint)}]

for some sets (S_{k} in mathcal{M}) with (m S_{k}

By what was shown above, on each (S_{k}) there is an (mathcal{M})-measurable map (f_{k} geq 0) such that

[int_{X} f_{k} dm=mu X]

for all (mathcal{M})-sets (X subseteq S_{k}.) Fixing such an (f_{k}) for each (k,) define (f : S ightarrow E^{1}) by

[f=f_{k} quad ext { on } S_{k}, quad k=1,2, ldots.]

Then (Corollary 3 in §1) (f) is (mathcal{M})-measurable and (geq 0) on (S).

Taking any (X in mathcal{M},) set (X_{k}=X cap S_{k}.) Then

[X=igcup_{k=1}^{infty} X_{k} ext { (disjoint)}]

and (X_{k} in mathcal{M}.) Also,

[(forall k) quad int_{X_{k}} f d m=int_{X_{k}} f_{k} d m=mu X_{k}.]

Thus by (sigma)-additivity (Theorem 2 in §5),

[int_{X} f d m=sum_{k=1}^{infty} int_{X_{k}} f d m=sum_{k} mu X_{k}=mu X

Thus (f) is as required, and its "uniqueness" follows as before.(quad square)

Note 2. By Definition 3 in §10, we may write

["d mu=f dm"]

for

["int f dm=mu."]

Note 3. Using Definition 2 in §10 and an easy "componentwise" proof, one shows that Theorem 1 holds also with (m) replaced by a generalized measure (s). The formulas

[mu=int f dm ext { and } mS(f eq h)=0]

then are replaced by

[mu=int f ds ext { and } v_{s}S(f eq h)=0.]

II. Theorem 1 requires (mu) to be (m)-continuous ((mu ll m).) We want to generalize Theorem 1 so as to lift this restriction. First, we introduce a new concept.

Definition

Given two set functions (s, t : mathcal{M} ightarrow Eleft(mathcal{M} subseteq 2^{S} ight),) we say that (s) is (t)-singular ((s perp t)) iff there is a set (P in mathcal{M}) such that (v_{t} P=0) and

[(forall X in mathcal{M} | X subseteq-P) quad s X=0.]

(We then briefly say "s resides in (P.)")

For generalized measures, this means that

[(forall X in mathcal{M}) quad s X=s(X cap P).]

Why?

Corollary (PageIndex{1})

If the generalized measures (s, u : mathcal{M} ightarrow E) are (t)-singular, so is (k s) for any scalar (k) (if (s) is scalar valued, (k) may be a vector).

So also are (s pm u,) provided (t) is additive.

Proof

(Exercise! See Problem 3 below.)

Corollary (PageIndex{2})

If a generalized measure (s : mathcal{M} ightarrow E) is (t)-continuous ((s ll t)) and also (t)-singular ((s perp t),) then (s=0) on (mathcal{M}.)

Proof

As (s perp t,) formula (3) holds for some (P in mathcal{M}, v_{t} P=0.) Hence for all (X in mathcal{M},)

[s(X-P)=0 ext { (for } X-P subseteq-P ext{)}]

and

[v_{t}(X cap P)=0 ext { (for } X cap P subseteq P ext{).}]

As (s ll t,) we also have (s(X cap P)=0) by Definition 3(i) in Chapter 7, §11. Thus by additivity,

[sX=s(X cap P)+s(X-P)=0,]

as claimed.(quad square)

Theorem (PageIndex{2}) (Lebesgue decomposition)

Let (s, t : mathcal{M} ightarrow E) be generalized measures.

If (v_{s}) is (t)-finite (Definition 3(iii) in Chapter 7, §11), there are generalized measures (s^{prime}, s^{prime prime} : mathcal{M} ightarrow E) such that

[s^{prime} ll t ext { and } s^{prime prime} perp t]

and

[s=s^{prime}+s^{prime prime}.]

Proof

Let (v_{0}) be the restriction of (v_{s}) to

[mathcal{M}_{o}=left{X in mathcal{M} | v_{t} X=0 ight}.]

As (v_{s}) is a measure (Theorem 1 of Chapter 7, §11), so is (v_{0}) (for (mathcal{M}_{0}) is a (sigma)-ring; verify!).

Thus by Problem 13 in Chapter 7, §6, we fix (P in mathcal{M}_{0},) with

[v_{s} P=v_{0} P=max left{v_{s} X | X in mathcal{M}_{0} ight}.]

As (P in mathcal{M}_{0},) we have (v_{t} P=0;) hence

[|sP| leq v_{s} P

(for (v_{s}) is (t)-finite).

Now define (s^{prime}, s^{prime prime}, v^{prime},) and (v^{prime prime}) by setting, for each (X in mathcal{M}),

[egin{aligned} s^{prime} X &=s(X-P); s^{prime prime} X &=s(X cap P); v^{prime} X &=v_{s}(X-P); v^{prime prime} X &=v_{s}(X cap P). end{aligned}]

As (s) and (v_{s}) are (sigma)-additive, so are (s^{prime}, s^{prime prime}, v^{prime},) and (v^{prime prime}). (Verify!) Thus (s^{prime}, s^{prime prime} : mathcal{M} ightarrow E) are generalized measures, while (v^{prime}) and (v^{prime prime}) are measures ((geq 0)).

We have

[(forall X in mathcal{M}) quad s X=s(X-P)+s(X cap P)=s^{prime} X+s^{prime prime} X;]

i.e.,

[s=s^{prime}+s^{prime prime}.]

Similarly one obtains (v_{s}=v^{prime}+v^{prime prime}).

Also, by (5), since (X cap P=emptyset),

[-P supseteq X ext { and } X in mathcal{M} Longrightarrow s^{prime prime} X=0,]

while (v_{t} P=0) (see above). Thus (s^{prime prime}) is (t)-singular, residing in (P).

To prove (s^{prime} ll t,) it suffices to show that (v^{prime} ll t) (for by (4) and (6), (v^{prime} X=0) implies (left|s^{prime} X ight|=0)).

Assume the opposite. Then

[(exists Y in mathcal{M}) quad v_{t} Y=0]

(i.e., (Y in mathcal{M}_{0})), but

[0

So by additivity,

[v_{s}(Y cup P)=v_{s} P+v_{s}(Y-P)>v_{s} P,]

with (Y cup P in mathcal{M}_{0},) contrary to

[v_{s} P=max left{v_{s} X | X in mathcal{M}_{0} ight}.]

This contradiction completes the proof.(quad square)

Note 4. The set function (s^{prime prime}) in Theorem 2 is bounded on (mathcal{M}.) Indeed, (s^{prime prime} perp t) yields a set (P in mathcal{M}) such that

[(forall X in mathcal{M}) quad s^{prime prime}(X-P)=0;]

and (v_{t} P=0) implies (v_{s} P

[s^{prime prime} X=s^{prime prime}(X cap P)+s^{prime prime}(X-P)=s^{prime prime}(X cap P).]

As (s=s^{prime}+s^{prime prime},) we have

[left|s^{prime prime} ight| leq|s|+left|s^{prime} ight| leq v_{s}+v_{s^{prime}};]

so

[left|s^{prime prime} X ight|=left|s^{prime prime}(X cap P) ight| leq v_{s} P+v_{s^{prime}} P.]

But (v_{s^{prime}} P=0) by (t)-continuity (Theorem 2 of Chapter 7, §11). Thus (left|s^{prime prime} ight| leq v_{s} P

Note 5. The Lebesgue decomposition (s=s^{prime}+s^{prime prime}) in Theorem 2 is unique. For if also

[u^{prime} ll t ext { and } u^{prime prime} perp t]

and

[u^{prime}+u^{prime prime}=s=s^{prime}+s^{prime prime},]

then with (P) as in Problem 3, ((forall X in mathcal{M}))

[s^{prime}(X cap P)+s^{prime prime}(X cap P)=u^{prime}(X cap P)+u^{prime prime}(X cap P)]

and (v_{t}(X cap P)=0.) But

[s^{prime}(X cap P)=0=u^{prime}(X cap P)]

by (t)-continuity; so (8) reduces to

[s^{prime prime}(X cap P)=u^{prime prime}(X cap P),]

or (s^{prime prime} X=u^{prime prime} X) (for (s^{prime prime}) and (u^{prime prime}) reside in (P)). Thus (s^{prime prime}=u^{prime prime}) on (mathcal{M}).

By Note 4, we may cancel (s^{prime prime}) and (u^{prime prime}) in

[s^{prime}+s^{prime prime}=u^{prime}+u^{prime prime}]

to obtain (s^{prime}=u^{prime}) also.

Note 6. If (E=E^{n}left(C^{n} ight),) the (t)-finiteness of (v_{s}) in Theorem 2 is redundant, for (v_{s}) is even bounded (Theorem 6 in Chapter 7, §11).

We now obtain the desired generalization of Theorem 1.

Corollary (PageIndex{3})

If ((S, mathcal{M}, m)) is a (sigma)-finite measure space ((S in mathcal{M}),) then for any generalized measure

[mu : mathcal{M} ightarrow E^{n}left(C^{n} ight),]

there is a unique (m)-singular generalized measure

[s^{prime prime} : mathcal{M} ightarrow E^{n}left(C^{n} ight)]

and a ("essentially" unique) map

[f : S ightarrow E^{n}left(C^{n} ight),]

(mathcal{M})-measurable and (m)-integrable on (S,) with

[mu=int f dm+s^{prime prime}.]

(Note 3 applies here.)

Proof

By Theorem 2 and Note 5, (mu=s^{prime}+s^{prime prime}) for some (unique) generalized measures (s^{prime}, s^{prime prime} : mathcal{M} ightarrow E^{n}left(C^{n} ight),) with (s^{prime} ll m) and (s^{prime prime} perp m.)

Now use Theorem 1 to represent (s^{prime}) as (int f dm,) with (f) as stated. This yields the result.(quad square)


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Bartle Lebesgue Integration Solutions . To get started finding Bartle Lebesgue Integration Solutions , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Bartle Lebesgue Integration Solutions I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


Projective limits of probability spaces ☆

The classical Kolmogorov theorem on the existence of stochastic process has been generalized in several directions following its abstract formulation by Bochner. In the first half of the paper a unified exposition of the key results of the existing work is given. The second half consists of some characterizations of the projective systems admitting projective limits and some applications. The latter include a generalization of a theorem of Tulcea on product measures involving conditional probabilities, which now need not be regular, and a characterization of the regular martingale of Chow and Snell, as a particular projective system admitting the projective limit. Comparisons with other work and some pertinent remarks are included at several places.


Azzam, J., David, G., Toro, T.: Wasserstein distance and rectifiability of doubling measures: part I. Math. Ann. 364(1–2), 151–224 (2016)

David, G.: Singular Sets of Minimizers for the Mumford-Shah Functional. Progress in Mathematics. Birkhäuser Verlag, Basel (2005)

David, G., Kenig, C., Toro, T.: Asympotically optimally doubling measures and reifenberg flat sets with vanishing constant. Commun. Pure Appl. Math. 54, 385–449 (2001)

Federer, H.: Geometric Measure Theory, Grundlehren der Mathematishen Wissenschaften 153. Springer, Berlin (1969)

Mattila, P.: Geometry of Sets and measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 44. Cambridge University Press, Cambridge (1995)

Preiss, D.: Geometry of measures in (^n) : distribution, rectifiability, and densities. Ann. Math. (2) 125(3), 537–643 (1987)

Tolsa, X.: Uniform rectifiability, Calderón–Zygmund operators with odd kernel, and quasiorthogonality. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 98(2), 393–426 (2009)

Tolsa, X.: Mass transport and uniform rectifiability. Geom. Funct. Anal. 22(2), 478–527 (2012)

Tolsa, X.: Rectifiable measures, square functions involving densities, and Cauchy transform (2014). Preprint arXiv:1408.6979

Villani, C.: Optimal Transport: Old and New. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 338. Springer, Berlin (2009)


Access options

Buy single article

Instant access to the full article PDF.

Tax calculation will be finalised during checkout.

Subscribe to journal

Immediate online access to all issues from 2019. Subscription will auto renew annually.

Tax calculation will be finalised during checkout.


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Measure And Integral Zygmund Solutions . To get started finding Measure And Integral Zygmund Solutions , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Measure And Integral Zygmund Solutions I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


Probability theory i, m loeve 1

SPACES, AND MEASURES SETs, CLAssEs, AND FuNcTIONS • 1.1 1.2 1.3 1.4 Definitions and notations Differences, unions, and intersections Sequences and limits Indicators of sets xi 55 55 56 57 59 CONTENTS OF VOLUME I Xll PAGE SECTION Fields and u-fields Monotone classes Product sets Functions and inverse functions Measurable spaces and functions 59 60 61 62 64 *2 ToPOLOGICAL SPACES *2.1 Topologies and limits *2.2 Limit points and compact spaces *2.3 Countability and metric spaces *2.4 Linearity and normed spaces 65 1.5 1.6 *1.7 *1.8 *1.9 ADDITIVE SET FuNcTIONS 3.1 Additivity and continuity 3.2 Decomposition of additive set functions *4 CoNSTRUCTION OF MEASURES ON u-FIELDS *4.1 Extension of measures *4.2 Product probabilities *4.3 Consistent probabilities on Borel fields *4.4 Lebesgue-Stieltjes measures and distribution functions CoMPLEMENTS AND DETAILS 66 69 72 78 83 83 87 88 88 91 93 96 100 CHAPTER II: MEASURABLE FUNCTIONS AND INTEGRATION MEASURABLE FuNCTIONS 5.1 Numbers 5.2 Numerical functions 5.3 Measurable functions 103 103 105 107 MEASURE AND CONVERGENCES 6.1 Definitions and general properties 6.2 Convergence almost everywhere 6.3 Convergence in measure 111 Ill 114 116 INTEGRATION 7.1 Integrals 7.2 Convergence theorems 118 119 125 INDEFINITE INTEGRALS ITERATED INTEGRALS 8.1 Indefinite integrals and Lebesgue decomposition 8.2 Product measures and iterated integrals *8.3 Iterated integrals and infinite product spaces 130 130 135 137 CoMPLEMENTS AND DETAILS 139 INDEX Abel theorem, 400 Addition property, 10 Additive set function, 83 continuity, 85 continuity theorem, 85 countably, 83 decomposition, 87 decomposition theorem, 88 extension, 88 extension theorem, 88 finite, 83, 111 finitely, 83 restriction, 88 u-additive, 83, 111 u-fini te, 83, 111 Adherence, 66 Adherent point, 66 Alexandrov, 190, 409 Allard, 44 Almost everywhere, 112 convergence, 114 mutual convergence, 114 Almost sure(ly), 148 convergence, 152, 248, 260 mutual convergence, 153 stability, 244, 249, 274, 260 stability criterion, 264 Almost uniform convergence, 140 Andersen and Jessen, 92, 408 Asymptotic (Cont.) passage theorem, 36 uniform negligibility, 302 Atom, 100 Attraction domain of, 360 partial, 403 stability and-criteria, 364 standard, 402 Axioms of the countable case, 16 of the finite case, Baire category theorem, 75 functions, 109 Banach, 407 space, 81 Base countable, 72 of a cylinder, 62 Baxter, 369, 390, 411 Bawly, 302, 410 Bernoulli, 407 case, 12, 244, 280 extended, 26 law of large numbers, 14, 244, 282 Berry, 294, 410 Billingsley, 196, 409 Bienayme, 408 equality, 12, 246 Blackwell, 369, 411 Bochner, 408, 409 theorem, 220 Boltzmann, 42, 43 Bolzano-Weierstrass property, 70 Ande

411 equivalence, 377, 391 equivalence lemma, 378 Andre, Desire, 47 Arcsine law, 379, 404 Asymptotic behaviour theorem, 399 413 414 INDEX Borel(ian), 107, 407, 410 Can telli lemma, 240 cylinder, 93 field, 93, 104 function, 111, 156 functions theorem, 156 line, 93, 107 sets, 93, 104 space, 93, 107 strong law of large numbers, 18, 19, 26, 244 zero-one criterion, 240 Bose-Einstein statistics, 43, 44 Bounded functional, 80 Liapounov theorem, 213, 282 set, 74 totally, 75 variances, 303 variances limit theorem, 305 Bourbaki, 407 Breiman, 409 Brey, 409 Brunk, 271, 410 Cantelli, 20, 240, 409, 410 Cantor theorem, 74 Caratheodory extension theorem, 88 Category first, 75 second, 75 theorem, 75 Cauchy mutual convergence criterion, 74, 104, 114 Centering, 244 at expectations, 244 at medians, 256 function, 350 Central convergence criterion, 323, 326 inequalities, 316 limit problem, 302 limit theorem, 321, 322 statistical theorem, 20 Chain, 29 constant, 29 elementary, 29 stationary, 39 Chained classes, 28 events, 28 random variables, 29 Change of variable lemma, 190 Characteristic function(s), 198 composition theorem, 226 continuity theorem, 204, 224 convergence criterion, 204 and dichotomy, 386 extension theorem, 224 general properties, 207 infinitely decomposable, 306 integral, 202 inversion formula, 199 triangular, 386 self-decomposable, 334 stable, 338, 363 uniform convergence theorem, 204 Chung,407,409,410 and Fuchs, 368, 383, 411 and Ornstein, 383, 411 Class closed under, 59 lower, 272 monotone, 60 of sets, 55 upper, 272 Classical degenerate convergence criterion, 290 limit problem, 286 normal convergence criterion, 292 Closed class of states, 36 model, 22 set, 66 Closure theorem infinitely decomposablelaws,309 INDEX Combinatorial lemma, 378 method, 47 Compact locally, 71 set, 69 space, 69 Compactificati on, 71 Compactness properties, 70 relative, 195 relative, criterion, 195 Compactness theorem for distribution functions, 181 metric spaces, 76 separated spaces, 70 Comparison convergences theorem, 117 lemma(s), 303, 320 Complement, 4, 56 Complete convergence, 180 convergence criterion, 204 measure, 91 metric space, 74 Completeness theorem, Lr- , 163 Completion of a metric space, 77 of u-field, 91 Complex random variable, 154 Composition, 204, 283 and decomposition theorem, 283 lemma, 227 theorem, 206 Compound(s) Poisson, 347 theorem, 237 u-field, 237 Conditional expectation, 24 probability, 24 regular probability, 138 Consistency theorem, 94 Consistent, 93 Constant chain, 29 415 Continuity additive set functions-theo rem, 85 characteristic functions theorem, 204, 224 F- , interval, 187 P- , set, 189 Continuous Ffunction, 67 functional, 80 Pset function, 85 Convergence almost everywhere, 114 almost sure, 153 almost uniform, 140 complete, 180 essential, 262 in quadratic mean, 260 in rth mean, 159 of sequences of sets, 58 of types, 216 uniform, 114 weak, 180 Convergence criterion(ria) almost everywhere, 116 central, 323, 327 complete, 204 degenerate, 290, 329 iid, 346 iid central, 348 normal, 292, 328 Poisson, 308, 329 pr.'s on metric space, 190 weak, 203 Convergence theorem(s) comparison, 117 dominated, 126 Fatou-Lebesgu e, 12 Lr- , 165 moments, 186 monotone, 125 of types, 216 uniform, 204 416 INDEX Convex function, 161 Correspondence lemma, 344 theorem, 97 Countable(ly), 16 base, 72 class, 57 set, 57 set operations, 57 valued, 64, 106 Covering open, 69 rule, 16 c.-inequality, 157 Cramer, 271, 408, 409 Cylinder Borel, 62 product, 62 Daniell, 94, 408 Decomposable infinitely, 308 self- , 334 Decomposition theorem(s) chains, 37 composition and, theorem, 283 degenerate type, 283 distribution functions, 178,200 Hahn, 87 Lebesgue, 131 normal type, 283 Poisson type, 283 Degenerate characteristic function, 215 convergence criterion, 290, 329 distribution function, 215 law, 215 random time, 376 random variable, 215 random walk, 370 type, 215 Dense set, 72 nowhere, 75 Denumerable, 16 class, 57 Denumerable (Cont.) set, 57 set operations, 57 valued, 64, 106 Diameter of a set, 74 Dichotomy, 380 criterion, 382 Difference equations, 48 proper, 56 of sets, 56 Direction(ted), 67 set, 68 Dirichlet, 187 Disjoint class, 57 events, sets, 57 Distance of points, 73 points and sets, 78 sets, 77 Distribution, 168, 172, 175 empirical distribution function, 20 function, 20, 96, 169, 177 invariant, 39 Ld-, 370 probability, 168 Doblin, 30, 302, 354, 403, 410, 411 Domain, 62, 108 of attraction, 360 partial, 401 standard, 402 Dominated convergence theorem, 126 Doubrovsky, 408 Duality rule, 57 Dugue, 409 Dunford, 408 Egorov theorem, 141 Einstein, 43, 44 Elementary chain, 29 INDEX Elementary (Cont.) function, 64, 107 probability field, 16 random variable, 17, 152 Empirical distribution function, 20 Empty set, 4, 54 Equivalence Andersen, 377, 393 Andersen, lemma, 378 class, 154 convergence, 245 lemma, laws, 290 lemma, series, 245 tail, 245 theorem(s), 263, 379 Equivalent distribution functions, 96 functions, 114 random variables, 154 states, 36 Erdos, 34 Esseen, 294, 410 Essential convergence, 262 divergence, 262 Euler, 47 Events, 3, 8, 151 disjoint, elementary, 151 exchangeable, 45, 21 impossible, 4, 151 independent, 11, 73, 235 null, 152 random, 5, sure, 4, 151 tail, 241 Everreturn state, 36 Exchangeable events, 45, 373 random variables, 373 Expectation centering at, 244 criterion, 384 indefinite, 153 417 Expectation (Cont.) of a random function, 156 of a random sequence, 154 of a random variable, 10, 17, 153, 154 Exponential bounds, 266 identities, 388, 396 Extended Bernoulli law of large numbers, 26 Borel line, 93, 107 Borel space, 93, 107 Borel strong law of large numbers, 26 central convergence criterion, 326 central limit theorem, 322 convergence criterion, 306 Helly-Bray lemma, 183 identities, 395 Extension, 88 of characteristic functions, 225 of linear functionals, 81 of measures, 88 Factorization(s) extreme, 396 sample space, 392, 396 unique, theorem, 389 Feller, 34, 292, 302, 353, 354, 369, 371, 383, 407, 409-411 Fermi-Dirac statistics, 42, 43 Field(s), 59 Borel, 93, 104 compound, 156 Lebesgue, 129 of outcomes, probability, product, 61, 62 u-, 59 Finite intersection property, 70 interval lemma, 45 Finetti, de, 302, 411 418 Finitely-valued, 64, 106 First category, 75 limit theorems, 282 Fortet, 409 Frechet, 187, 408 Fubini theorem, 136 Function(s) additive set, 83 Baire, 111 centering, 350 characteristic, 199, 202 continuous, 67 convex, 161 countably-valued, 64, 106 denumerably-valued, 64, 106 distribution, 20, 96, 169, 177 domain of, 62, 107 elementary, 64, 107 equivalent, 114 F-continuous, 187 finite, 105 finitely-valued, 64, 106 of function, 64, 106 inverse, 63, 106 measurable, 65, 107 non-negative definite, 219 numerical, 105 P-continuous, 187 positive part of, 105 random, 152, 156 range of, 63 range space, 62, 105 simple, 64, 107 tail, 241 Functional, 80 bounded, 80 continuous, 80 linear, 80 normed, 80 Gambler's ruin, 48 Geometric probabilities, 49 Glivenko, 408 -Cantelli, 21 INDEX Gnedenko, 302, 354, 407, 409, 411 Gumbel, 45 Hadamard, 30 Hahn and Rosenthal, 408 Hahn decomposition theorem, 87 Halmos, 196, 408 Hausdorff, 408 space, 68 Heine-Borel property, 70 Helly, 409 Helly-Bray lemma, 182 extended, 183 generalized, 187 Helly-Bray theorem, 184 Herglotz lemma, 220 Hewitt-Savage, 374, 411 zero-one law, 374 Hilbert space, 80 Hitting time, 377 lemma, 374 Holder inequality, 158 Huygens principle, 28 Identification property, 73 Image, Inverse of a class, 63, 106 of a set, 63, 106 Impossible event, 4, 110 Improper integral, 130 Increments inequality, 208 Indecomposable class of states, 36 Indefinite expectation, 154 integral, 130 Independent classes, 11, 235 events, 11, 235 random functions, 237 random variables, 11, 237 random vectors, 237 u-fields, 236 trials, INDEX Indicator(s), 9, 59 method of, 44 Induced partition, 64, 106 probability space, 168, 171 u-field, 64 topology, 66 Inequality( ties) basic, 159 central, 316 Cr, 157 Holder, 158 integral, 208 Kolmogorov, 25, 247, 275 Levy, 259 Liapounov, 177 Schwarz, 158 symmetrization, 259 Tchebichev, 11, 160 truncation, 209 weak symmetrization, 258 Inferior limit, 58 Infimum, 56, 103 Infinite decomposability, 308 numbers, 103 Infinitely often, 241 Integrable, 119 uniformly, 164 Integral characteristic function, 202 inequality, 208 representation theorem, 166 Integral(s) Daniell, 146 Darboux-Young, 144 definitions, 119 elementary properties, 120 improper, 130 iterated, theorem, 137 Kolmogorov, 145 Lebesgue, 129, 143 Lebesgue-Stiel tj es, 128 Riemann, 129 Riemann-Stieltjes, 129 419 Integration by parts lemma, 358 Interior, 66 point, 66 Intermediate value theorem, 102 Intersection(s), 4, 56 finite-property, 70 Interval(s), 61, 62, 104 finite-lemma, 397 Invariance theorem, 39 Invariant distribution, 39 Inverse function, 63, 106 image, 63, 106 Inversion formula, 199 Iterated logarithm, law of, 219 regular conditional probability theorem, 138 Kac, 407, 410 Katz, 411 Karamata, 354 main theorem, 356 Kawata, 210, 409 Kelley, 408 Kemperman, 369, 393, 395, 410 Khintchine, 28, 302, 410 measure, 343 representation, 343 Kolmogorov, 30, 94, 302,407, 408, 410 approach, 145 inequalities, 25, 247, 275 strong law of large numbers, 251 three series criterion, 249 zero-one law, 241 Kronecker lemma, 250 Lambert, 46 Laplace, 22, 281, 286, 287, 407 Law of large numbers Bernoulli, 14, 26, 244, 282 Borel, strong, 18, 19, 26, 244 classical, 290 Kolmogorov, strong, 251 420 INDEX Law(s), 174 degenerate, 215, 281 equivalence lemma, 290 infinitely decomposable, 308 normal, 213, 281 of the iterated logarithm, 219 Poisson, 282 probability, 174, 214 self-decomposable, 334 stable, 326, 363 types of, 215 universal, 403 zero-one, 241, 374 Lebesgue, 408 approach, 143 decomposition theorem, 131 field, 129 integral, 129 measure, 128 sets, 129 Lebesgue-Stieltjes field, 128 integral, 128 measure, 128 Le Cam, 193, 409 Levy, P., 199, 301, 302, 408, 410 continuity theorem, 204 inequalities, 259 function(s), 361 measure, 343 representation, 343 Liapounov, 411 inequality, 174 theorem, 213, 287, 289 Limit of a directed set, 68 along a direction, 68 inferior, 58 superior, 58 Limit of a sequence of functions, 113 laws, 214 numbers, 104 sets, 58 Limit problem central, 302 classical, 286 Lindeberg, 292, 411 Line Borel, 93, 107 extended real, 104 real, 93, 103 Linear closure, 79 functional, 80 space, 70 Linearly ordered, 67 Liouville theorem, 369 Lomnicki, 409 Lower class, 272 variation, 87 £,completeness theorem, 163 convergence theorem, 164 spaces, 162 Lusin theorem, 140 Marcinkiewitz, 225, 254, 302, 409 Markov, 407 chain, 28 dependence, 28 inequality, 160 Lukacz, 408 Matrices, method of, 48 Matrix, transition probability, 29 Mean rth mean, 159 Measurable function, 107 sets, 60, 64, 107 space, 60, 64, 107 Measure, 84, 112 convergence in, 116 Khin tchine, 343 Lebesgue, 129 Lebesgue-Stieltjes, 128 Levy, 343 normed, 91, 151 INDEX Measure (Cont.) outer, 88 outer extension of, 89 product, 136 signed, 87 space, 112 Median, 256 centering at, 256 Metric compactness theorem, 76 linear space, 79 space, 73 topology, 73 Minimal class over, 60 Minkowski inequality, 158 Moment(s) convergence problem, 187 convergence theorem, 186 kth, 157, 186 lemma, 254 rth absolute, 157, 186 Monotone class, 60 convergence theorem, 125 sequences of sets, 58 Montmort, 46 JL -measurable, 88 Multiplication lemma, 238 property, 11 rule, 24 theorem, 238 Negligibility, uniform asymptotic, 302, 314 Neighborhood, 66 Neyman, 407 Nikodym, 133, 408 Nonhereditary systems, 28 Nonrecurrent state, 31 No-return state, 31 Norm of a functional, 79 Hilbert, 80 of a mapping, 79 421 Normal approximation theorem, 300 convergence criterion, 307 decomposition theorem, 283 law, 213, 281 type, 283 Normalized distribution function, 199 Normed functional, 80 linear space, 79 measure, 91, 151 sums, 331 Nowhere dense, 75 Null set, 91, 112 state, 32 Numerical function, 105 Open covering, 69 set, 66 Ordering, partial, 67 Orthogonal random variables, 246 Outcome(s), of an experiment, field of, Outer extension, 89 measure, 88 Owen, 411 Parseval relation, 386 Parzen, 407 Petrov, 410 Physical statistics, 42 Planck, 44 Poincare recurrence theorem, 28 Poisson compound, 347 convergence criterion, 229, 329 decomposition theorem, 283 law, 282 theorem, 15 type, 283 422 INDEX Pollaczec, 396, 394, 400, 411 -Spitzer identity, 393, 400 Pollard, 34 Polya, 368, 409 Port, 369, 393, 412 Positive part, 105 state, 32 Positivity criterion, 33 Possible state(s), 370 value(s), 370 values theorem, 371 Probability, 5, 8, 16, 91, 151, 152 condi tiona!, 6, 24 convergence in, 153 convergence on metric spaces, 189, 190 distribution, 168 field, law, 214 product-theorem, 92 rule, total, 24 stability in, 244 sub, 187 transition, 29 Probability space, 91, 151, 152 induced, 168 product, 92 transition, 29 product, 92 sample, 168 Product cylinder, 62 field, 61, 62 measurable space, 61, 62, 137 measure, 136 probability, 92 probability theorem, 242 scalar, 80 set, 61 u-field, 61, 62 space, 61, 62 Prohorov, 190, 193, 264, 409 Quadratic mean convergence in, 260 Radon-Nikodym theorem, 133 extension, 134 Raikov, 283, 411 Random event, 5, function, 152, 156 sequence, 152, 155 time, 375 time identities, 390 time translations, 376 trial, variable, 6, 9, 17, 152 vector, 152, 155 walk, 47, 378, 379 Range, 63 space, 62, 105 Ranked random variables, 350 sums, 405 Ray, 369, 395, 412 Real line, 93 line, extended, 93, 107 number, 93 number extended, 93 space, 93 Recurrence, 380 criterion, 32 theorem(s), 27, 384 Recurrent state(s), 31, 380 walk, 28 Regular variation, 354 criterion, 354 Relative compactness, 190 theorem, 195 Representation theorem, 313 integral, 166 Restriction, 88 Return criterion, 32 state, 31 Riemann integral, 129 INDEX Riemann-Stieltjes integral, 129 Riesz, F., 222, rth absolute moment, 157, 186 mean, 159 Ruin, gambler's, 48 Saks,408 Savage,374 Scalar product, 80 Scheffe, 408 Schwarz inequality, 158 Section, 61, 62, 135 Self-decomposable(bili ty), 334 criterion, 335 Separable space, 68 Separation theorem, 68 Sequence(s) convergence equivalent, 245 random, 152, 155 tail of, 241 tail equivalent, 245 Series criterion three, 249 two, 263 Set function additive, 83 continuous, 85 countably additive, 83 finite, 82, 111 finitely, 83 u-additive, 83, 111 u-finite, 83, 11 Set(s) Borel, 93, 104 bounded, 74 closed, 66 compact, 69 dense, 72 directed, 68 empty, 4, 54 Lebesgue, 129 measurable, 60, 64, 107 null, 91, 112 open, 66 423 Set(s) (Cont.) product, 61 su bdirected, 69 totally bounded, 75 Shohat, 187 u-additive, 83, 111 u-field(s), 59 compound, 156, 235 independent, 236 induced, 64 product, 61, 62 tail, 241 Signed measure, 87 Simple function, 64, 107 random variable, 6, 152 Snell, 66 Space adjoint, 81 Banach, 79 Borel, 93, 107 compact, 69 complete, 74 Hausdorff, 68 Hilbert, 80 induced probability, 168 linear, 79 measurable, 60, 64, 107 measure, 112 metric, 73 metric linear, 79 normal, 78 normed linear, 79 probability, 91, 151, 152 product, 61, 62 product measurable, 61, 62, 137 product measure, 136 product probability, 91 range, 62, 105 sample probability, 168 separated, 68 of sets, 55 topological, 66 Sphere, 73 424 Spitzer, 369, 393, 394, 404, 410, 412 basic identity, 396 basic theorem, 401 Stability almost sure, 244 almost sure criterion, 264 and attraction criterion, 364 in probability, 244, 246 Stable characteristic function, 338 law, 338, 363 State(s) closed class of, 36 equivalent, 36 everreturn, 36 indecomposable class of, 36 nonrecurrent, 31, 380 no return, 31 nu1,32 period of, 33 positive, 32 possible, 370 recurrent, 31, 380 return, 31 transient, 380 Stationary chain, 39 Steinhaus, 409 Stiel tj es, 128, 129 Stochastic variable, 174 Stochastically independent, 11 Strong law of large numbers Borel, 18, 19, 26, 244 Kolmogorov, 241 Structure corollary, 348 theorem, 310 Subspace linear, 79 topological, 66 Sum of sets, 4, 51 Superior limit, 58 Supremum, 56, 103 Sure almost, 151 INDEX Sure (Cont.) event, 4, 151 Symmetrization, 257 inequalities, 259 inequalities, weak, 257 Tail equivalence, 245 event, 241 function, 241 of a sequence, 241 u-field, 241 Tchebichev, 409 inequality, 11, 160 theorem, 287 Tight(ness), 194 lemma, 194 and relative compactness, 195 theorem, 194 Three alternatives, 375 alternatives criteria, 399 series criterion, 249 Toeplitz lemma, 250 Topological space, 66 subspace, 66 Topology, 66 metric, 73 reduced, 66 Total(ly) bounded set, 75 probability rule, 24 variation, 87 Transition probability, 29 Trial(s) deterministic, identical, 5, independent, 5, random, repeated, 5, Triangle property, 73 Triangular characteristic function, 386 probability density, 386 INDEX Truncation, 245 inequality, 209 Tulcea, 138, 408 Tucker, 410 Two-series criterion, 251 Type(s), 215 convergence of, 216 degenerate, 215, 282 normal, 282 Poisson, 282 Ugakawa, 102 Uniform asymptotic negligibility, 302, 314 continuity, 77 convergence, 114 convergence theorem, 204 Union, 4, 56 Upper class, 272 variation, 87 Urysohn, 78 Uspensky, 407 Value(s), possible, 370 theorem, 371 Variable, random, 69, 17, 152 Variance, 12, 244 425 Variances, bounded, 302 limit theorem, 305 Variation lower, 87 regular, 354 slow, 354 total, 87 of truncated moments, 359 upper, 87 Vector, random, 152, 155 Wald's relation, 377, 397 Weak compactness theorem, 181 convergence, 180 convergence, to a pr., 190 symmetrization inequalities, 257 convergence, to a pr., 190 Weierstrass theorem, Wendel, 412 Zero-one criterion, Borel, 24 law, Kolmogorov, 241 law, Hewitt-Savage, 374 Zygmund, 409 Graduate Texts in Mathematics Soft and hard cover editions are available for each volume up to Vol 14, hard cover only from Vol 15 TAKEUTI/ZARING Introduction to Axiomatic Set Theory vii, 250 pages 1971 OxTOBY Measure and Category viii, 95 pages 1971 ScHAEFFER Topological Vector Spaces xi, 294 pages 1971 HILTON/STAMMBACH A Course in Homological Algebra ix, 338 pages 1971 (Hard cover edition only) MACLANE Categories for the Working Mathematician ix, 262 pages 1972 HUGHES/PIPER Projective Planes xii, 291 pages 1973 SERRE A Course in Arithmetic x, 115 pages 1973 TAKEUTI/ZARING Axiomatic Set Theory viii, 238 pages 1973 HUMPHREYS Introduction to Lie Algebras and Representation Theory xiv, 169 pages 1972 10 11 COHEN A course in Simple Homotopy Theory xii, 114 pages 1973 CONWAY Functions of One Complex Variable 2nd corrected reprint xiii, 313 pages 1975 (Hard cover edition only.) 12 13 BEALS Advanced Mathematical Analysis xi, 230 pages 1973 ANDERSON/FULLER Rings and Categories of Modules ix, 339 pages 1974 14 GoLUBITSKY/GVILLEMIN Stable Mappings and Their Singularities x, 211 pages 1974 15 BERBERIAN Lectures in Functional Analysis and Operator Theory x, 356 pages 1974 16 WINTER The Structure of Fields xiii, 205 pages 1974 17 RoSENBLATT Random Processes 2nd ed x, 228 pages 1974 18 HALMOS Measure Theory xi, 304 pages 1974 19 HALMOS A Hilbert Space Problem Book xvii, 365 pages 1974 20 HusEMOLLER Fibre Bundles 2nd ed xvi, 344 pages 1975 21 HUMPHREYS Linear Algebraic Groups xiv 272 pages 1975 22 BARNES/MAcK An Algebraic Introduction to Mathematical Logic x, 137 pages 1975 23 24 GREUB Linear Algebra 4th ed xvii, 451 pages 1975 HoLMES Geometric Functional Analysis and Its Applications x, 246 pages 1975 25 HEWITT/STROMBERG Real and Abstract Analysis 3rd printing viii, 476 pages 1975 26 MANES Algebraic Theories x, 356 pages 1976 27 KELLEY General Topology xiv, 298 pages 1975 28 ZARISKI/SAMUEL Commutative Algebra I xi, 329 pages 1975 29 ZARISKI/SAMUEL Commutative Algebra II x, 414 pages 1976 30 JACOBSON Lectures in Abstract Algebra I: Basic Concepts xii, 205 pages 1976 31 JACOBSON Lectures in Abstract Algebra II: Linear Algebra xii, 280 pages 1975 32 JACOBSON Lectures in Abstract Algebra III: Theory of Fields and Galois Theory ix, 324 pages 1976 33 HIRSCH Differential Topology x, 222 pages 1976 34 SPITZER Principles of Random Walk 2nd ed xiii, 408 pages 1976 35 WERMER Banach Algebras and Several Complex Variabl


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo . To get started finding Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Measure And Integration An Introduction Henk De Snoo I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Measure Theory Integration Exercises With Solution . To get started finding Measure Theory Integration Exercises With Solution , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Measure Theory Integration Exercises With Solution I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


Πραγματική Ανάλυση (μεταπτ.)

Το μεταπτυχιακό μάθημα «Πραγματική Ανάλυση» είναι μια εισαγωγή στη θεωρία ολοκλήρωσης καθώς και σε συναφείς έννοιες και αποτελέσματα της Πραγματικής και Συναρτησιακής ανάλυσης και της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σκοπός του μαθήματος είναι να διδάξει στο φοιτητή τις βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στο χτίσιμο της θεωρίας του ολοκληρώματος αλλά και χρήση του ολοκληρώματος αυτού (ολοκλήρωμα Lebesgue) στη Μαθηματική πράξη.

Θα ακολουθήσουμε το βιβλίο του Walter Rudin, «Real and Complex Analysis, 3rd Edition».

Σε κάποιες περιπτώσεις όμως μπορεί να στηριχθούμε σε άλλα βιβλία ή σημειώσεις.

Ο βαθμός του φοιτητή θα προκύψει κατά 20% από τα σετ ασκήσεων που θα λύνει κάθε εβδομάδα, κατά 30% από το ενδιάμεσο διαγώνισμα (περί την 7η εβδομάδα του εξαμήνου) και κατά 50% από το τελικό διαγώνισμα.

Κάθε εβδομάδα, συνήθως Πέμπτη, θα σας δίνω από ένα φυλλάδιο ασκήσεων, τις λύσεις των οποίων θα πρέπει να μου επιστρέψετε μια βδομάδα μετά, στο μάθημα.

Θα πρέπει οι λύσεις που θα παραδίδετε να είναι σωστές, σύντομες (χωρίς να μακρυγορείτε αλλά και χωρίς να αφήνετε απ' έξω κάτι σημαντικό) και να είναι δικές σας . Το να παραδώσετε ασκήσεις που έχετε γράψει από άλλους δεν επιτρέπεται. Μπορείτε φυσικά να συζητάτε τα προβλήματα με άλλους αλλά η λύση που θα μου δίνετε θα πρέπει να είναι γραμμένη από σας και να έχει κατανοηθεί πλήρως από εσάς. Το να μου δίνετε ασκήσεις που δεν έχετε λύσει δε βοηθάει ούτε και μένα (γιατί δε θα καταλαβαίνω αν έχετε πρόβλημα να κατανοήσετε κάτι) αλλά ούτε και σας.

Περιοδικά θα ζητώ από κάποιους από σας να μας παρουσιάσουν τη λύση κάποιας άσκησης στο μάθημα.

Είδαμε τι είναι μια σ-άλγεβρα πάνω σε ένα σύνολο . Σε ένα τέτοιο μετρήσιμο χώρο ορίζεται έπειτα η έννοια της μετρήσιμης συνάρτησης , όπου είναι ένας μετρικός (ή, γενικότερα, τοπολογικός) χώρος. Κάναμε μια πολύ σύντομη ανασκόπηση του τι είναι μετρική και μετρικός χώρος και ορίσαμε επίσης την έννοια του τοπολογικού χώρου (αν και κυρίως θα χρησιμοποιούμε μετρικούς χώρους). Δείξαμε τέλος ότι η σύνθεση μιας συνεχούς συνάρτησης με μια μετρήσιμη συνάρτηση διατηρεί τη μετρησιμότητα (Θεώρημα 1.7 του βιβλίου σας). Διαβάστε μόνοι σας και το Θεώρημα 1.8 που είναι πολύ παρόμοιο.

Όσοι από εσάς έχετε ξεχάσει τα περί μετρικών χώρων ή δεν τα μάθατε ποτέ, θα πρέπει να θυμηθείτε διάφορα βασικά. Αρχίστε διαβάζοντας τις πρώτες 17 σελίδες από τις πολύ καλές σημειώσεις του συναδέλφου κ. Μήτση.

Την Πέμπτη θα πάρετε το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων, με παράδοση μια βδομάδα μετά.

Διατήρηση της μετρησιμότητας από αλγεβρικές πράξεις μεταξύ συναρτήσεων, όπως και από μέγιστα, ελάχιστα, sup και inf, καθώς και limsup, liminf και lim μετρησίμων συναρτήσεων.

σ-άλγεβρα που παράγεται από μια οικογένεια συνόλων. Σύνολα Borel σ' ένα τοπολογικό χώρο. Σύνολα και παραδείγματα.

Οι επεκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί και αλγεβρικές πράξεις με τα άπειρα.

Απλές συνάρτήσεις (μη αρνητικές προς το παρόν) και θεώρημα μονότονης προσέγγισης κάθε μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης από κάτω από ακολουθία απλών συναρτήσεων.

Μη αρνητικά μέτρα και μιγαδικά μέτρα.

Σήμερα είδαμε μερικά παραδείγματα χώρων μέτρου (κυρίως το counting measure, τη μάζα Dirac) και έπειτα ορίσαμε το ολοκλήρωμα απλής μη αρνητική συνάρτηση και από αυτό τον ορισμό και το θέωρημα που δείξαμε την προηγούμενη φορά που μας επιτρέπει να προσεγγίσουμε κάθε μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση από μια αύξουσα ακολουθία απλών ορίσαμε και το ολοκλήρωμα οποασδήποτε μη αρνητικής μετρήσιμης συνάρτησης. Είδαμε διάφορες ιδιότητες του ολοκληρώματος και καταλήξαμε να αποδείξουμε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης καθώς και το πόρισμά του για την ολοκλήρωση κατά όρους σειράς μη αρνητικών συναρτήσεων. Είδαμε επίσης με ποια μεθοδολογία μπορεί κανείς να μεταγράψει κάποια θεωρήματα που αφορούν ολοκληρώματα σε αντίστοιχα θεωρήματα που αφορούν σειρές, χρησιμοποιώντας το counting measure.

Αποδείξαμε το Λήμμα του Fatou και το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης (Dominated Convergence Theorem). Ορίσαμε το ολοκλήρωμα μιγαδικών (και πραγματικών) συναρτήσεων και πλέον δε μιλάμε μόνο για ολοκληρώματα μη αρνητικών συναρτήσεων. Είδαμε τις βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος (γραμμικότητα, τριγωνική ανισότητα). Μιλήσαμε για το τι σημαίνει για μια ιδιότητα να ισχύει «σχεδόν παντού» και το πώς μπορεί κανείς σε διάφορα θεωρήματα, όπως το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης, να απαιτεί τις υποθέσεις του να ισχύουν μόνο σχεδόν παντού (και όχι κατ' ανάγκην παντού). Είδαμε ότι μια σειρά συγκλίνει σχεδόν παντού όταν η σειρά των ολοκληρωμάτων των απολύτων όρων συγκλίνει και στην περίπτωση αυτή μπορούμε να αλλάξουμε το ολοκλήρωμα με το άθροισμα.

Έχουμε ουσιαστικά τελειώσει με το Κεφάλαιο 1 του βιβλίου.

  1. Παρακαλώ πολύ γράφετε πιο καθαρά. Σε ορισμένες περιπτώσεις μου είναι δύσκολο να καταλάβω τι γράφετε. Δεν είστε γιατροί και δεν είμαι φαρμακοποιός.
  2. Κοιτάτε τις λύσεις που ανεβάζω και συγκρίνετε με τις δικές σας. (Καλό είναι να κρατάτε ένα αντίγραφο των ασκήσεων που μου δίνετε μήπως και είτε αργήσω να τα διορθώσω ή χαθεί κάτι. Όσοι έχετε smartphone ένα πολύ καλό πρόγραμμα για «σκανάρισμα» εγγράφων είναι το camscanner.)
  3. Κάποιοι μου γράφουν μερικές φοβερά πολύπλοκες λύσεις που σχεδόν σίγουρα τις έχουν διαβάσει από κάπου. Το πρόβλημα είναι ότι δεν τις καταλαβαίνουν. Αν δε καταλαβαίνετε κάτι μην το γράφετε. Ο βαθμός που θα πάρετε στα φυλλάδια των ασκήσεων δεν είναι τόσο μεγάλος. Είναι πολύ προτιμότερο αν δε καταλαβαίνετε μια άσκηση να μην τη γράφετε, ώστε κι εγώ να βλέπω πού έχετε δυσκολίες.
  4. Προσπαθείτε να μη γράφετε πάρα πολλά. (Ορισμένα γραπτά είναι κανονική οικολογική καταστροφή.) Είναι κι αυτό μια τέχνη που πρέπει να μάθετε, το να μην υπερεξηγείτε αυτά που θα όφειλαν να είναι προφανή. Αλλιώς ο αναγνώστης δεν καταλαβαίνει ποιο κομμάτι της λύσης σας είναι το σημαντικό.
  5. Δεν εναλλάσουμε όρια χωρίς αιτιολόγηση (το είδα σε μερικά γραπτά). Τα δύο όρια και της διπλής ακολουθίας δεν είναι κατ' ανάγκη ίσα. Πάρτε π.χ. την .
  6. Σε πολλά γραπτά είδα τη συνεπαγωγή «η είναι σ.π. πεπερασμένη, άρα υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε σ.π.» Αυτό είναι λάθος (σοβαρό). Σχεδόν παντού πεπερασμένη δε συνεπάγεται ότι είναι φραγμένη η . Πάρτε π.χ. την για . Είναι παντού πεπερασμένη αλλά σίγουρα όχι φραγμένη.
  7. Όπυ βάζω στα γραπτά το σημάδι +++ σημαίνει ότι θα ήθελα να επεξηγήσετε περισσότερο το σημείο αυτό.

Είδαμε κατ' αρχήν την έννοια του θετικού γραμμικού συναρτησοειδούς, παρατηρήσαμε ότι στο γραμμικό χώρο το ολοκλήρωμα Riemann μιας συνάρτησης

υπάρχει (το ξανααποδείξαμε) και είναι θετικό γραμμικό συναρτησοειδές και έπειτα αναφέραμε (χωρίς απόδειξη) το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz (Θ. 2.14 στο βιβλίο του Rudin). Δείξαμε πώς από το θεώρημα αυτό συνάγεται η ύπαρξη του μέτρου Lebesgue, ενός μέτρου που ορίζεται σε μια σ-άλγεβρα μεγαλύτερη από τη Borel σ-άλγεβρα, και που γενικεύει το ολοκλήρωμα Riemann (που το έχουμε μόνο για συνεχείς ή, έστω, τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις) σε όλες τις Borel μετρήσιμες συναρτήσεις στο ή στο . Δείξαμε μερικές βασικές ιδιότητες του μέτρου Lebesgue, πως π.χ. δίνει μέτρο 0 σε κάθε αριθμήσιμο σύνολο. Δεν είναι απαραίτητο όμως για ένα σύνολο να είναι αριθμήσιμο για να έχει μέτρο Lebesgue 0 και ξεκινήσαμε να βλέπουμε το παράδειγμα του τριαδικού συνόλου του Cantor ως ένα παράδειγμα συνόλου μέτρου 0 που έχει τον πληθάριμο του συνεχούς. Δεν είπαμε ακόμη το παράδειγμα συνόλου στο που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμο (Θ. 2.22).

Μια συνοπτική περιγραφή του μέτρου και ολοκληρώματος Lebesgue, με έμφαση στη χρήση του και σχεδόν καθόλου στην έννοια της μετρησιμότητας, μπορείτε να βρείτε στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου αυτού. Ίσως να σας φανεί χρήσιμη μαζί με τις ασκήσεις που περιέχονται εκεί.

Μιλήσαμε με λεπτομέρεια για το σύνολο του Cantor (ένα υπαριθμήσιμο σύνολο στο που έχει μέτρο Lebesgue μηδέν). Το σύνολο Cantor (του οποίου υπάρχουν πολλές παραλλαγές) έχει πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες και είναι πηγή παραδειγμάτων στην Ανάλυση. Ρίξτε μια ματιά εδώ.

Αποδείξαμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμα (ڈ.22 στο Rudin - δεν πήγαμε πέρα από κει στο Κεφ. 2).

Από το Κεφ. 3 αποδείξαμε την ανισότητα του Jensen για κυρτές συναρτήσεις (που είδαμε ότι αποτελεί κατά κάποιον τρόπο μια γενίκευση του ορισμού της κυρτότητας συνάρτησης) και αποδείξαμε επίσης και την ανισότητα του Hölder (Θ. 3.5 στο Rudin).

Δείξαμε σήμερα ξανά την ανισότητα Hölder (χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Young: για και ). Από την ανισότητα Hölder δείξαμε μετά την ανισότητα του Minkowski που είναι η τριγωνική ανισότητα για τις νόρμες . Είδαμε ότι αυτές οι ανισότητες μας δίνουν (χρησιμοποιώντας το counting measure) και τις αντίστοιχες ανισότητες για πεπερασμένα αθροίσματα και σειρές. Αποδείξαμε ότι οι χώροι είναι πλήρεις μετρικοί χώροι.

Δείξαμε ότι σε κάθε χώρο μέτρου οι απλές συναρτήσεις είναι πυκνές στους χώρους , . (Για το χώρο πρέπει κανείς να επιτρέψει και απλές συναρτήσεις στις οποίες τα σύνολα στα οποία είναι σταθερές μπορούν να έχουν και άπειρο μέτρο. Για τους ολοκληρωτικούς χώρους αυτό δε χρειάζεται.)

Δείξαμε έπειτα ότι ο χώρος (συνεχείς συναρτήσεις με συμπαγή φορέα) είναι επίσης πυκνές στους , , φτάνει ο χώρος να είναι ένας τοπικά συμπαγής μετρικός χώρος. Η πυκνότητα αυτή δεν ισχύει για το .

Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο δείξαμε ότι οι ολοκληρωτικοί χώροι είναι διαχωρίσιμοι, ότι δηλ. έχουν κάποιο αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο. Αυτό δεν ισχύει για τον και το αποδείξαμε.

Σήμερα κάναμε μια μικρή εισαγωγή στους χώρους Hilbert. Ξεκινήσαμε το Κεφ. 4 και καλύψαμε τις έννοιες μέχρι και το Θ. 4.11 (διάσπαση χώρου Hilbert στο άθροισμα ενός κλειστού υπόχωρου και του ορθογωνίου συμπληρώματός του (ορθογώνιες προβολές).

Σήμερα συνεχίσαμε να μιλάμε για χώρους Hilbert. Αποδείξαμε το θεώρημα αναπαράστασης 4.12 και μιλήσαμε μετά για ορθοκανονικά σύνολα. Υπολογίσαμε την ορθογώνια προβολή του πάνω σε ένα υπόχωρο που παράγεται από ένα πεπερασμένο ορθοκανονικό σύνολο , και είδαμε ότι οι συντελεστές της προβολής ως προς τα είναι οι αριθμοί . Από αυτό αποδείξαμε την ανισότητα του Bessel για κάθε ορθοκανονικό σύνολο. Καταλήξαμε με το Θ. 4.18 που συνοψίζει κάποιες βασικές έννοιες για ορθοκανονικά σύνολα και αναπτύγματα ως προς αυτά.

Το ενδιάμεσο διαγώνισμα θα γίνει την Πέμπτη 3-11-2016, την ώρα του μαθήματος. Να είστε στην αίθουσα ακριβώς στις 9:00 (η αίθουσα ενδέχεται να αλλάξει-θα ενημερωθείτε). Εκείνη την εβδομάδα δε θα έχετε να παραδώσετε ασκήσεις (αλλά θα παραλάβετε νέο φυλλάδιο την ημέρα του διαγωνίσματος).

Μπορείτε εδώ να δείτε ένα υπόδειγμα του διαγωνίσματος της 3-11-2016. Το διαγώνισμα θα έχει διάρκεια 2 ώρες. Θα εξεταστείτε σε 5 (μάλλον) θέματα τα οποία θα σας είναι άγνωστα χωρίς αυτό να σημαίνει ότι θα είναι και δύσκολα. Θα πάρετε και 2ο υπόδειγμα το επόμενο Σαββατοκύριακο. Δε θα έχετε να παραδώσετε φυλλάδιο ασκήσεων την εβδομάδα του ενδιάμεσου διαγωνίσματος.

Μιλήσαμε κατ' αρχήν για τους χώρους και (χώροι 1-περιοδικών συναρτήσεων) και για την ορθοκανονική βάση

χωρίς όμως να αποδείξουμε την πληρότητα των εκθετικών. Είδαμε ότι οι συντελεστές Fourier

ορίζονται ευρύτερα για όλες τις συναρτήσεις στο (με άλλα λόγια για όλες τις 1-περιοδικές συναρτήσεις στο που είναι ολοκληρώσιμες στο . Μιλήσαμε επίσης για τον μετασχηματισμό Fourier

που ορίζεται για κάθε και αποδείξαμε το Λήμμα Riemann-Lebesgue (δηλ. ) και το ότι ο μετασχηματισμός Fourier είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο .

Μιλήσαμε επίσης για τον πυρήνα του Dirichlet και για τον πυρήνα του Fejer.

Αυτά που είπαμε (και που θα πούμε και την Πέμπτη) μπορείτε να τα βρείτε στα Κεφ. 2 και 3 του βιβλίου αυτού.

Συνεχίσαμε σήμερα τη συζήτηση για ανάλυση Fourier περιοδιών συναρτήσεων. Αποδείξαμε το Θεώρημα του Fejer που λέει ότι οι Cesaro μέσοι όροι των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier μια συνεχούς περιοδικής συνάρτησης συγκλίνουν ομοιόμορφα στη συνάρτηση. Αυτό έχει ως συνέπεια την πληρότητα των εκθετικών (πυκνότητα των τριγωνομετρικών πολυωνύμων) στο χώρο .

Στο μάθημα της Τρίτης θα ασχοληθούμε με λύση ασκήσεων και δε θα καλύψουμε νέα «ύλη».

Σήμερα ασχοληθήκαμε με διάφορες από τις ασκήσεις των υποδειγμάτων διαγωνίσματος.

Το διαγώνισμα θα γίνει στην Α208. Παρακαλώ να είστε εκεί στις 9:00 ακριβώς.


Watch the video: P Probability Theory 3: Different types of measures: singular measures, Lebesgue decomposition (December 2021).